题目内容
如图，矩形ABCD（点A在第一象限）与x轴的正半轴相交于M，与y的负半轴相交于N，AB∥x轴，反比例函数的图象y=| k | x |
（1）若B（-3，3），直线AC的解析式为y=ax+b．
①求a的值；
②连接OA、OC，若△OAC的面积记为S△OAC，△ABC的面积记为S△ABC，记S=S△ABC-S△OAC，问S是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
（2）AE与CF是否相等？请证明你的结论．
分析：（1）①由于四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，可根据B的坐标，表示出A、C的坐标，将它们分别代入直线AC的解析式中，消去b后即可求得a的值；
②由于四边形ABCD是矩形，且AC是矩形的对角线，则△ABC和△ACD的面积相等，因此△ABC、△AOC的面积差即为△ACD、△AOC的面积差，那么由△OAM、△OCN以及矩形OMDN的面积和即可求得S、k的函数关系式，根据自变量的取值范围及函数的性质即可判断出S是否具有最小值．
（2）连接MN，设AB、BC与坐标轴的交点分别为P、Q，易证得矩形APOM和矩形CQON的面积相等，那么DN•AD=DM•CD，将此式化为比例式，即可证得△DMN∽△DAC，根据相似三角形得到的等角，即可判定MN∥AC，由此可证得四边形AFNM、四边形CEMN都是平行四边形，即可得到CE=AF=MN，由此可证得AE=CF．
②由于四边形ABCD是矩形，且AC是矩形的对角线，则△ABC和△ACD的面积相等，因此△ABC、△AOC的面积差即为△ACD、△AOC的面积差，那么由△OAM、△OCN以及矩形OMDN的面积和即可求得S、k的函数关系式，根据自变量的取值范围及函数的性质即可判断出S是否具有最小值．
（2）连接MN，设AB、BC与坐标轴的交点分别为P、Q，易证得矩形APOM和矩形CQON的面积相等，那么DN•AD=DM•CD，将此式化为比例式，即可证得△DMN∽△DAC，根据相似三角形得到的等角，即可判定MN∥AC，由此可证得四边形AFNM、四边形CEMN都是平行四边形，即可得到CE=AF=MN，由此可证得AE=CF．
解答：解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，B（-3，3），
∴A（
，3）、C（-3，-
）．
∵y=ax+b经过A、C两点，
∴
，消去b得：（
+3）a=
+3．
∵k＞0，故
+3≠0，∴a=1．
②S=S△ABC-S△OAC=S△ACD-S△OAC=S△AOM+S△CON+S矩形ONDM，
∴S=
+
+
=
（k+
）2-
；
∴当k＞-
时，S随k的增大而增大，
由于k＞0，故k没有最小值，S也没有最小值．
（2）AE=CF，理由如下：
连接MN，设AB与y轴的交点为P，BC与x轴的交点为Q；
则S矩形APOM=S矩形CQON=k，
∴DN•AD=DM•CD，即
=
，
又∵∠D=∠D，
∴△DNM∽△DCA，得∠DNM=∠DCA，
∴MN∥AC；
又∵AD∥y轴，故四边形AFNM是平行四边形，
同理四边形CNME是平行四边形，
∴CE=MN=AF，故AE=CF．
∴A（
| k |
| 3 |
| k |
| 3 |
∵y=ax+b经过A、C两点，
∴
|
| k |
| 3 |
| k |
| 3 |
∵k＞0，故
| k |
| 3 |
②S=S△ABC-S△OAC=S△ACD-S△OAC=S△AOM+S△CON+S矩形ONDM，
∴S=
| k |
| 2 |
| k |
| 2 |
| k2 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
∴当k＞-
| 9 |
| 2 |
由于k＞0，故k没有最小值，S也没有最小值．
（2）AE=CF，理由如下：
连接MN，设AB与y轴的交点为P，BC与x轴的交点为Q；
则S矩形APOM=S矩形CQON=k，
∴DN•AD=DM•CD，即
| DN |
| CD |
| DM |
| AD |
又∵∠D=∠D，
∴△DNM∽△DCA，得∠DNM=∠DCA，
∴MN∥AC；
又∵AD∥y轴，故四边形AFNM是平行四边形，
同理四边形CNME是平行四边形，
∴CE=MN=AF，故AE=CF．
点评：此题是反比例函数的综合题，涉及到函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法、矩形的性质、二次函数的应用以及平行四边形、相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大．
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