Question

观察下列关于自然数的等式：
3²-4×1²=5   ①
5²-4×2²=9   ②
7²-4×3²=13  ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：9²—4×（     ）²=（    ）；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.

Answer 1

（1）4，17；
（2）第n个等式为：（2n+1）²-4n²=2（2n+1）-1，证明见解析.

试题分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．
试题解析：（1）3²-4×1²=5   ①
5²-4×2²=9   ②
7²-4×3²=13  ③
…
所以第四个等式：9²-4×4²=17；
（2）第n个等式为：（2n+1）²-4n²=2（2n+1）-1，
左边=（2n+1）²-4n²=4n²+4n+1-4n²=4n+1，
右边=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1．
左边=右边，
∴（2n+1）²-4n²=2（2n+1）-1．