题目内容
【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长AD到E,且有∠EBD=∠CAB.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)若BC=,AC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AD=6,BE=.
【解析】
试题分析:(1)先根据等弦所对的劣弧相等,再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD,最后用直径所对的圆周角为直角即可;
(2)利用三角形的中位线先求出OF,再用平行线分线段成比例定理求出半径R,最后用切割线定理即可.
试题解析:如图,连接OB,∵BD=BC,∴∠CAB=∠BAD,∵∠EBD=∠CAB,∴∠BAD=∠EBD,∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,OA=BO,∴∠BAD=∠ABO,∴∠EBD=∠ABO,∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°,∵点B在⊙O上,∴BE是⊙O的切线;(2)如图2,设圆的半径为R,连接CD,∵AD为⊙O的直径,∴∠ACCD=90°,∵BC=BD,∴OB⊥CD,∴OB∥AC,∵OA=OD,∴OF=AC=,∵四边形ACBD是圆内接四边形,∴∠BDE=∠ACB,∵∠DBE=∠ACB,∴△DBE∽△CAB,∴,∴,∴DE=,∵∠OBE=∠OFD=90°,∴DF∥BE,∴,∴,∵R>0,∴R=3,∴直径AD=6.∵BE是⊙O的切线,∴BE===.
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