题目内容

【题目】(问题发现)如图1,半圆O的直径AB10,点P是半圆O上的一个动点,则△PAB的面积最大值是

(问题探究)如图2所示,ABAC是某新区的三条规划路,其中AB6kmAC3km,∠BAC60°所对的圆心角为60°.新区管委会想在路边建物资总站点P,在ABAC路边分别建物资分站点EF,即分别在、线段ABAC上选取点PEF.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PEEFFP.显然,为了快捷环保和节约成本,就要使线段PEEFFP之和最短(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).可求得△PEF周长的最小值为 km

(拓展应用)如图3是某街心花园的一角,在扇形OAB中,∠AOB90°OA12米,在围墙OAOB上分别有两个入口CD,且AC4米,DOB的中点,出口E上.现准备沿CEDE从入口到出口铺设两条景观小路,在四边形CODE内种花,在剩余区域种草.

①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大?最大面积是多少?(小路宽度不计)

②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元,铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元.

请问:在上是否存在点E,使铺设小路CEDE的总造价最低?若存在,求出最低总造价和出口E距直线OB的距离;若不存在,请说明理由.

【答案】[问题发现] 25[问题探究] [拓展应用] ①出口E设在距直线OB7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米,②出口E距直线OB的距离为米.

【解析】

[问题发现]△PAB的底边AB一定,面积最大也就是P点到AB的距离最大,故当OP⊥AB时,时最大,值是5,再计算此时△PAB面积即可;

[问题探究]先由对称将折线长转化线段长,即分别以所在直线为对称轴,作出关于的对称点为关于的对称点为,连接,易求得:,而,即当最小时,可取得最小值.

[拓展应用]①四边形CODE面积=SCDOSCDE,求出SCDE面积最大时即可;

②先利用相似三角形将费用问题转化为CE2DECEQECEQE的最小值问题.然后利用相似三角形性质和勾股定理求解即可。

[问题发现]解:当OP⊥AB时,时最大,,此时△APB的面积=

故答案为:25

[问题探究]解:如图2-1,连接,分别以所在直线为对称轴,作出关于的对称点为关于的对称点为,连接,交于点,交于点,连接

在以为圆心,为半径的圆上,

易求得:

最小时,可取得最小值,

,即点上时,可取得最小值,如图2-2

如图2-3,设的中点为

由勾股定理可知:

是等边三角形,

由勾股定理可知:

的最小值为

故答案为:

[拓展应用]①如图,作OGCD,垂足为G,延长OG于点E,则此时△CDE的面积最大.

OAOB12AC4,点DOB的中点,∴OC8OD6

RtCOD中,CD10OG4.8,∴GE124.87.2

∴四边形CODE面积的最大值为SCDOSCDE×6×8×10×7.260

EHOB,垂足为H,则EHOE×127.2

答:出口E设在距直线OB7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米.

②铺设小路CEDE的总造价为200CE400DE200CE2DE).

如图,连接OE,延长OB到点Q,使BQOB12,连接EQ

在△EOD与△QOE中,∠EOD=∠QOE,且

∴△EOD∽△QOE,故QE2DE

于是CE2DECEQE,问题转化为求CEQE的最小值.

连接CQ,交于点E,此时CEQE取得最小值为CQ

RtCOQ中,CO8OQ24,∴CQ8,故总造价的最小值为1600

EHOB,垂足为H,连接OE,设EHx,则QH3x

RtEOH中,

解得舍去),

∴出口E距直线OB的距离为米.

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