题目内容
【题目】(问题发现)如图1,半圆O的直径AB=10,点P是半圆O上的一个动点,则△PAB的面积最大值是 ;
(问题探究)如图2所示,AB、AC、是某新区的三条规划路,其中AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,
所对的圆心角为60°.新区管委会想在
路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,即分别在
、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.显然,为了快捷环保和节约成本,就要使线段PE、EF、FP之和最短(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).可求得△PEF周长的最小值为 km;
(拓展应用)如图3是某街心花园的一角,在扇形OAB中,∠AOB=90°,OA=12米,在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D,且AC=4米,D是OB的中点,出口E在上.现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路,在四边形CODE内种花,在剩余区域种草.
①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大?最大面积是多少?(小路宽度不计)
②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元,铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元.
请问:在上是否存在点E,使铺设小路CE和DE的总造价最低?若存在,求出最低总造价和出口E距直线OB的距离;若不存在,请说明理由.
【答案】[问题发现] 25;[问题探究] ;[拓展应用] ①出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米,②出口E距直线OB的距离为
米.
【解析】
[问题发现]△PAB的底边AB一定,面积最大也就是P点到AB的距离最大,故当OP⊥AB时,时最大,值是5,再计算此时△PAB面积即可;
[问题探究]先由对称将折线长转化线段长,即分别以、
所在直线为对称轴,作出
关于
的对称点为
,
关于
的对称点为
,连接
,易求得:
,而
,即当
最小时,
可取得最小值.
[拓展应用]①四边形CODE面积=S△CDO+S△CDE′,求出S△CDE′面积最大时即可;
②先利用相似三角形将费用问题转化为CE+2DE=CE+QE,求CE+QE的最小值问题.然后利用相似三角形性质和勾股定理求解即可。
[问题发现]解:当OP⊥AB时,时最大,
,此时△APB的面积=
,
故答案为:25;
[问题探究]解:如图2-1,连接,
,分别以
、
所在直线为对称轴,作出
关于
的对称点为
,
关于
的对称点为
,连接
,交
于点
,交
于点
,连接
、
,
,
,
,
,
、
、
在以
为圆心,
为半径的圆上,
设,
易求得:,
,
,
,
当
最小时,
可取得最小值,
,
,即点
在
上时,
可取得最小值,如图2-2,
如图2-3,设的中点为
,
,
,
,
,
,
由勾股定理可知:
,
,
,
是等边三角形,
,
由勾股定理可知:
,
,
,
的最小值为
.
故答案为:
[拓展应用]①如图,作OG⊥CD,垂足为G,延长OG交于点E′,则此时△CDE的面积最大.
∵OA=OB=12,AC=4,点D为OB的中点,∴OC=8,OD=6,
在Rt△COD中,CD=10,OG=4.8,∴GE′=12-4.8=7.2,
∴四边形CODE面积的最大值为S△CDO+S△CDE′=×6×8+
×10×7.2=60,
作E′H⊥OB,垂足为H,则E′H=OE′=
×12=7.2.
答:出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米.
②铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE=200(CE+2DE).
如图,连接OE,延长OB到点Q,使BQ=OB=12,连接EQ.
在△EOD与△QOE中,∠EOD=∠QOE,且,
∴△EOD∽△QOE,故QE=2DE.
于是CE+2DE=CE+QE,问题转化为求CE+QE的最小值.
连接CQ,交于点E′,此时CE+QE取得最小值为CQ,
在Rt△COQ中,CO=8,OQ=24,∴CQ=8,故总造价的最小值为1600
.
作E′H⊥OB,垂足为H,连接OE′,设E′H=x,则QH=3x,
在Rt△E′OH中,,
解得(
舍去),
∴出口E距直线OB的距离为米.

【题目】济南国际滑雪自建成以来,吸引大批滑雪爱好者,一滑雪者从山坡滑下,测得滑行距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的关系可以近似的用二次函数来表示.
滑行时间x/s | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
滑行距离y/m | 0 | 4 | 12 | 24 | … |
(1)根据表中数据求出二次函数的表达式.现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m,他需要多少时间才能到达终点?
(2)将得到的二次函数图象补充完整后,向左平移2个单位,再向下平移5个单位,求平移后的函数表达式.