题目内容
【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交边AB,AC于点E,F,当∠EPF在△ABC所在平面内绕顶点P转动时(点E不与A,B重合),给出以下四个结论:①△PFA≌△PEB②EF=AP③△PEF是等腰直角三角形④S四边形AEPFS△ABC,上述结论中始终正确有______.
【答案】①③④
【解析】
由等腰直角三角形的性质得APBC=PB,∠B=∠CAP=45°,根据余角的性质得∠BPE=∠APF,进而即可证明△PFA≌△PEB,即可判断①;根据等腰三角形的性质和中位线的性质,即可判断②;由△PFA≌△PEB得PE=PF,进而即可判断③;由△PFA≌△PEB,得S△PFA=S△PEB,进而即可判断④.
∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,
∴AP⊥BC,APBC=PB,∠B=∠CAP=45°,
∵∠APF+∠EPA=90°,∠EAP+∠BPE=90°,
∴∠BPE=∠APF,
在△BPE和△APF中,
∵,
∴△PFA≌△PEB(ASA),即结论①正确;
∵△ABC是等腰直角三角形,P是BC的中点,
∴APBC,
又∵EF不一定是△ABC的中位线,
∴EF≠AP,故结论②错误;
∵△PFA≌△PEB,
∴PE=PF,
又∵∠EPF=90°,
∴△PEF是等腰直角三角形,故结论③正确;
∵△PFA≌△PEB,
∴S△PFA=S△PEB,
∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APBS△ABC,故结论④正确;
综上,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),始终正确的有3个结论.
故答案为:①③④.
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