题目内容
如图,在矩形ABCD中,AB=16,AD=12,在BD上有一动点G以每秒1个单位的速度从点D出发至点B,以G为直角顶点作等腰Rt△EFG,使得GE∥AD,GF∥AB,且GE=6.(1)线段BD的长度是______;
(2)点G在运动过程中,求出矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式及其自变量取值范围.
【答案】分析:(1)根据矩形的性质得到∠A=90°,根据勾股定理求出即可;
(2)有4种情况①当点E在AB上时,根据△BEG∽△BAD得出,求出t=10,当0≤t≤10时s=18;②当点F在BC上时,由△BFG∽△BCD,得出比例式即可求出t=12.5,当10<t≤12.5时,S=18-,③当点E、F均在矩形ABCD外侧,且EF与BD有交点时,由△BMG∽△BAD和△BKG∽△BCD,推出,令MG=x,则KG=6-x,,求出x,进一步求出t,当12.5<t≤时,S=,④如图,当EF与BD没有交点时,即<t≤20时,S=GM•GK,代入求出即可.
解答:解:(1)∵矩形ABCD,
∴∠A=90°,
∵AB=16,AD=12,
由勾股定理得:BD===20,
故答案为:20.
(2)①如图,当点E在AB上时,
∵EG∥AD,
∴△BEG∽△BAD,
∴,
∴,
解得t=10,
∴当0≤t≤10时,
S=,
②如图,当点F在BC上时,
∵FG∥CD,
∴△BFG∽△BCD,
∴,
∴,
解得t=12.5,
∴当10<t≤12.5时,
S=18-=,
③如图,当点E、F均在矩形ABCD外侧,
且EF与BD有交点时,
∵EG∥AD,
∴△BMG∽△BAD,
∴,
∵FG∥CD,
∴△BKG∽△BCD,
∴,
∴,
令MG=x,则GK=6-x,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴当12.5<t≤(当t=时,EF过B点)时,
S=,
=,
④当EF与BD没有交点时,
即<t≤20时,
S=GM•GK==,
答:矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式是s=18(0≤t≤10)或s=(10<t≤12.5)或
S=(12.5<t≤)或S=(<t≤20).
点评:本题主要考查对矩形的性质,相似三角形的性质和判定,三角形的面积,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个拔高的题目,有一定的难度,用的数学思想是分类讨论思想.
(2)有4种情况①当点E在AB上时,根据△BEG∽△BAD得出,求出t=10,当0≤t≤10时s=18;②当点F在BC上时,由△BFG∽△BCD,得出比例式即可求出t=12.5,当10<t≤12.5时,S=18-,③当点E、F均在矩形ABCD外侧,且EF与BD有交点时,由△BMG∽△BAD和△BKG∽△BCD,推出,令MG=x,则KG=6-x,,求出x,进一步求出t,当12.5<t≤时,S=,④如图,当EF与BD没有交点时,即<t≤20时,S=GM•GK,代入求出即可.
解答:解:(1)∵矩形ABCD,
∴∠A=90°,
∵AB=16,AD=12,
由勾股定理得:BD===20,
故答案为:20.
(2)①如图,当点E在AB上时,
∵EG∥AD,
∴△BEG∽△BAD,
∴,
∴,
解得t=10,
∴当0≤t≤10时,
S=,
②如图,当点F在BC上时,
∵FG∥CD,
∴△BFG∽△BCD,
∴,
∴,
解得t=12.5,
∴当10<t≤12.5时,
S=18-=,
③如图,当点E、F均在矩形ABCD外侧,
且EF与BD有交点时,
∵EG∥AD,
∴△BMG∽△BAD,
∴,
∵FG∥CD,
∴△BKG∽△BCD,
∴,
∴,
令MG=x,则GK=6-x,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴当12.5<t≤(当t=时,EF过B点)时,
S=,
=,
④当EF与BD没有交点时,
即<t≤20时,
S=GM•GK==,
答:矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式是s=18(0≤t≤10)或s=(10<t≤12.5)或
S=(12.5<t≤)或S=(<t≤20).
点评:本题主要考查对矩形的性质,相似三角形的性质和判定,三角形的面积,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个拔高的题目,有一定的难度,用的数学思想是分类讨论思想.
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