Question

在△ABC中，
（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60，请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；
（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，CD与BE相交于点O，求证：BE=CD；
（3）在（2）的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，再根据三角形的面积公式列式求解即可；
（2）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，再求出∠DAC=∠BAE，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ACD，然后求出∠COE=∠CAE=60°，从而得到点A、O、C、E四点共圆，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等求出∠AOE=∠ACE=60°，然后根据平角等于180°求出∠AOD=60°，从而得解．

解答：（1）解：∵BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∴PM=PN，
∴S_△ABP：S_△BPC=

1

2

AB•PM：

1

2

BC•PN=AB：BC，
∵AB=50，BC=60，
∴△ABP与△BPC面积的比值为

5

6

；

（2）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD；

（3）解：∠AOD=∠AOE．
理由如下：∵△ABE≌△ADC（已证），
∴∠AEB=∠ACD，
在△ACE中，∠AEB+∠BEC+∠ACE+∠CAE=180°，
在△OCE中，∠BEC+∠ACE+∠ACD+∠COE=180°，
∴∠COE=∠CAE=60°，
∴点A、O、C、E四点共圆，
∴∠AOE=∠ACE=60°，
∴∠AOD=180°-∠AOE-∠COE=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOD=∠AOE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，（1）主要利用了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，（2）熟记等边三角形的性质并求出∠DAC=∠BAE是证明三角形全等的关键，（3）难点在于证明A、O、C、E四点共圆．