Question

如图，抛物线y=

3

3

x2+

7 3

3

x+2

3

与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点O与点D关于直线AC对称，连接OD，CD，OD交AC于点E
（1）分别求出点A，B，C的坐标；
（2）若反比例函数y=

k

x

(k≠0)的图象过点D，求k的值；
（3）两动点M，N同时从点A出发，分别沿AO，AC的方向向点O，C移动，点M秒移动1个单位长度，点N每秒移动2个单位长度，设△MNO的面积为S，移动的时间为t，则S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即C点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、B的坐标）．
（2）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、C的坐标，易判断出△OAC是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AC对称，可得出OD的长，结合∠DOA的度数，即可得到D点的坐标，由此得解．
（4）首先用t列出AM、AN的表达式，进而可得到N到x轴的距离，以OM为底、N到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．

解答：解：（1）∵点A、B均在x轴上，
令y=0，即

3

3

x2+

7 3

3

x+2

3

=0；
解得 x₁=-6，x₂=-1，
∴A（-6，0）、B（-1，0）．
令x=0，即y=2

3

，
∴C（0，2

3

）．
综上所述，A（-6，0）、B（-1，0）、C（0，2

3

）．


（2）如图，∵由A（-6，0）、C（0，2

3

）得：OA=6，OC=2

3

，
∴cot∠OAC=

6

2 3

=

3

，
∴∠OAC=30°．
∵D与O点关于AC对称，
∴OD=OA=6，∠DOA=60°，
∴D（-3，3

3

）．
∵反比例函数y=

k

x

(k≠0)的图象过点D，
∴3

3

=

k

-3

，
∴k=-9

3

．

（3）存在，理由如下：
设AM=t（0＜t＜6），则AN=2t，易求AC=4

3

．
当点N到达终点C时，t=2

3

．
∵2

3

＜6，
∴点M继续向右移动，
∴当2

3

＜t＜6时，t越大，△MNO的面积越小．
当t=2

3

时，S=

1

2

×2

3

×（6-2

3

）=6

3

-6．
当0＜t＜2

3

时，S_△MNO=

1

2

•（6-t）•t=-（t-3）²+

9

2

，即当t=3时，S有最大值

9

2

．
∵

9

2

＞6

3

-6，
∴当t=3时，S有最大值

9

2

．

点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．