Question

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于E点，过C点作CD⊥BD于D点，过点A作AT⊥BD于T点，下列结论：
①BE=2CD；②∠ADB=45°；③点E为TD中点；④AT+TE=

1

2

BE，
其中正确的结论是（　　）

• A、①②
• B、①②③
• C、①②④
• D、②③④

Answer 1

考点：等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：作BE的中点F，连接AF、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AF=BF=EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABF=∠DBC=22.5°，从而可以得出∠BAF=∠TAE=∠ACD=22.5°，∠AFT=45°，就有AT=TF，就可以得出④正确，由∠BAC=90°，∠BDC=90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD=DC，证△ADC≌△AFB推出BF=CD，求出∠AFD=45°，∠FAD=90°即可求出∠ADB=45°，推出△DCE∽△TAE和AE≠CE即可推出DE≠ET，根据AT=TF推出AT+TE=EF，根据以上内容判断即可．

解答：
解：取BE的中点F，连接AF、AD，
∵∠BAC=90°，
∴AF=BF=EF=

1

2

BE，
∴∠BAF=∠ABF，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBD=

1

2

∠ABC=22.5°，
∴∠BAF=22.5°，
∵CD⊥BD，∠BAC=90°，
∴∠CDB=∠BAC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴弧AD=弧CD，
∴∠DAC=∠DCA=22.5°，
即∠ACD=∠ABF，∠DAC=∠BAF，
在△ABF和△ACD中

∠ABF=∠ACD AB=AC ∠BAF=∠DAC

∴△ABF≌△ACD，
∴CD=BF=

1

2

BE，
即BE=2CD，∴①正确；
∵∠ABF=∠BAF=22.5°，
∴∠AFD=∠ABF+∠BAF=45°，
∵∠BAF=DAC=22.5°，∠BAC=90°
∴∠FAD=∠FAE+∠DAC=∠FAE+∠BAF=∠BAC=90°，
∴∠ADB=180°-90°-45°=45°，∴②正确；
∵AB≠BC，BD平分∠ABC，
∴AE≠CE，
∵AT⊥BE，∠AFE=45°，
∴∠FAT=45°，
∴∠TAE=90°-45°-22.5°=22.5°=∠DCA，
∵∠AET=∠DEC，
∴△DCE∽△TAE，
∴

DE

ET

=

CE

AE

，
∵AE≠CE，
∴DE≠ET，∴③错误；
∵AT=TF，
∴AT+TE=TF+TE=EF=

1

2

BE，∴④正确；
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大．