Question

如图抛物线y=a（x-1）²+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，已知CD=

2

；
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m的值；
（3）将（1）中的抛物线向上平移t（t＞0）个单位，与直线CD交于点G、H，设平移后的抛物线的顶点为D₁，与y轴的交点为C₁，是否存在实数t，使得DH⊥HD₁，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据解析式直接得出顶点D的坐标，又可根据CD的长得出C的坐标，代入解析式中即可得出a的值，即得抛物线的解析式；
（2）根据平移的性质写出直线平移后的方程，则第三个点一定是直线MN与抛物线的唯一公共点，联立抛物线的方程，使判别式等于0，即可得出b的平移后的直线方程，作CP⊥MN于P，即可得出m的值；
（3）易判断CC₁D₁D为平行四边形和△DHD₁为等腰直角三角形，由点H在新抛物线上，代入H的坐标，即可得出t的值．

解答：解：（1）∵D（1，4），CD=

2

，
∴C（0，3），
∴a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3；

（2）∵B（3，0）、C（0，3），
∴直线BC：y=-x+3，将直线BC向上平移b个单位得直线MN：y=-x+3+b，
则第三个点一定是直线MN与抛物线的唯一公共点，
联立

y=-x+3+b y=-x2+2x+3

，
消去y得：x²-3x+b=0，
由△=0
得到b=

9

4

，
作CP⊥MN于P，则∠CMN=∠OCB=45°，
CM=

9

4

，
∴m=CP=

9 2

8

；

（3）由CC₁=DD₁=t，CC₁∥DD₁，
∴CC₁D₁D为平行四边形，
∴C₁D₁∥CD，
∴∠C₁D₁D=∠CDE=45°，
∵DH⊥HD₁，∴∠DD₁H=45°，
即△DHD₁为等腰直角三角形，且DD₁=t，
∴H（

1

2

t+1，

1

2

t+4），
由点H在新抛物线y=-x²+2x+3+t上，
∴-(

1

2

t+1)2+2（

1

2

t+1）+3+t=

1

2

t+4，
解得t=2或t=0（舍），
∴t=2．

点评：此题考查了抛物线解析式的确定、平行四边形的判定及性质、三角形面积的求法等重要知识点本题的难点在于考虑问题要全面，读懂题意．