题目内容
【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④ AE2+DF2=AF2+DE2．上述结论中正确的是( )
A. ②③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④
【答案】D
【解析】
由AD是角平分线及DE、DF均为高可知△AED≌△AFD，则可得AE=AF,DE=DF，继而得到AD是EF的垂直平分线，由此可判断②和③正误，再由勾股定理可判断④的正误，而①的结论无法由已知条件推出.
解：∵AD是角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△AFD，
∴AE=AF，DE=DF，
∴AD⊥EF，②正确，
∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°
又∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形，③正确，
∵∠AED=∠AFD=90°，
∴AE2+DE2=AF2+DF2=AD2
∵DE=DF，
∴AE2+DF2=AF2+DE2，④正确.
根据前述已得结论，需要四边形AEDF是菱形才能得到OA=OD的结论，而题干并未给出这个条件，①错误，
故选择D.
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