题目内容

【题目】如图,点A 坐标为(1,1),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O,A两点)过点CCDx轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF,连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF,若以B、E、F为顶点的三角形与OEF相似,,则B的坐标是 ___________

【答案】,0)或(3,0)

【解析】

根据点A坐标是(1,1)可以确定∠AOB=45°,又四边形CDEF是正方形,所以0D=CD=DE,即可证明△OFE的边OE=2EF,再根据B,E,F为顶点的三角形与△OFE相似①EF=2EB,②EB=2EF两种情况讨论,根据△ACF△AOB相似,相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式计算即可求出正方形的边长,从而OB的长亦可求出.

过点AAH⊥OB,

A的坐标为(1,1),

∴AH=OH=1,∠AOB=45°

∴OD=CD,

CF=x,

四边形CDEF是正方形,

∴CF∥DE,CD=CF=EF=DE,

∴CD=CF=EF=DE=x,

∴OE=OD+DE=2EF,

B,E,F为顶点的三角形与△OFE相似,

∴①EF=2EB,EB=x,

∴OB=OE+EB=2x+x=x,

∵CF∥DE,

∴△ACF∽△AOB,

=

=1x,

解得x=

OB=×=

B的坐标为(,0),

②EB=2EF时,则EB=2x,

∴OB=OE+EB=2x+2x=4x,

∵CF∥DE,

∴△ACF∽△AOB,

=

=1x,

解得x=

OB=4x=4×=3,

B的坐标为(3,0).

综上所述,B的坐标是(,0)(3,0).

故答案为:(,0)(3,0).

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