题目内容
(2013•济南一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动
点也随之停止运动.
(1)求AC、BC的长;
(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式;
(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似,请说明理由.

(1)求AC、BC的长;
(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式;
(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似,请说明理由.
分析:(1)由在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,设AC=4y,BC=3y,由勾股定理即可求得AC、BC的长;
(2)分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析,首先过点Q作AB的垂线,利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高,则可求得y与x的函数关系式;
(3)由PQ⊥AB,可得△APQ∽△ACB,由相似三角形的对应边成比例,求得△PBQ各边的长,根据相似三角形的判定,即可得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似.
(2)分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析,首先过点Q作AB的垂线,利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高,则可求得y与x的函数关系式;
(3)由PQ⊥AB,可得△APQ∽△ACB,由相似三角形的对应边成比例,求得△PBQ各边的长,根据相似三角形的判定,即可得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似.
解答:解:(1)设AC=4x,BC=3x,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即:(4x)2+(3x)2=102,
解得:x=2,
∴AC=8cm,BC=6cm;
(2)分两种情况:
①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H.
∵AP=x,∴BP=10-x,BQ=2x,
∵△QHB∽△ACB,
∴
=
,
∴QH=
x,
y=
BP•QH=
(10-x)•
x
=-
x2+8x(0<x≤3),
②当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′,
∵AP=x,
∴BP=10-x,AQ=14-2x,
∵△AQH′∽△ABC,
∴
=
,
即:
=
,
解得:QH′=
(14-2x),
∴y=
PB•QH′=
(10-x)•
(14-2x)
=
x2-
x+42(3<x<7);
(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似.理由如下:
∵AP=x,
∴AQ=14-2x,
∵PQ⊥AB,
∴△APQ∽△ACB,
∴
=
=
,
即:
=
=
,
解得:x=
,PQ=
,
∴PB=10-x=
,
∴
=
=
≠
,
∴当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似.
即:(4x)2+(3x)2=102,
解得:x=2,
∴AC=8cm,BC=6cm;

①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H.
∵AP=x,∴BP=10-x,BQ=2x,
∵△QHB∽△ACB,
∴
QH |
AC |
QB |
AB |
∴QH=
8 |
5 |
y=
1 |
2 |
1 |
2 |
8 |
5 |
=-
4 |
5 |
②当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′,
∵AP=x,
∴BP=10-x,AQ=14-2x,

∵△AQH′∽△ABC,
∴
AQ |
AB |
QH′ |
BC |
即:
14-2x |
10 |
QH′ |
6 |
解得:QH′=
3 |
5 |
∴y=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
5 |
=
3 |
5 |
51 |
5 |
(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似.理由如下:
∵AP=x,
∴AQ=14-2x,
∵PQ⊥AB,
∴△APQ∽△ACB,
∴
AP |
AC |
AQ |
AB |
PQ |
BC |
即:
x |
8 |
14-2x |
10 |
PQ |
6 |
解得:x=
56 |
13 |
42 |
13 |

∴PB=10-x=
74 |
13 |
∴
PQ |
PB |
| ||
|
21 |
37 |
BC |
AC |
∴当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理,以及最短距离问题.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

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