题目内容

(2013•济南一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.
(1)求AC、BC的长;
(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式;
(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似,请说明理由.
分析:(1)由在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,设AC=4y,BC=3y,由勾股定理即可求得AC、BC的长;
(2)分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析,首先过点Q作AB的垂线,利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高,则可求得y与x的函数关系式;
(3)由PQ⊥AB,可得△APQ∽△ACB,由相似三角形的对应边成比例,求得△PBQ各边的长,根据相似三角形的判定,即可得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似.
解答:解:(1)设AC=4x,BC=3x,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2
即:(4x)2+(3x)2=102
解得:x=2,
∴AC=8cm,BC=6cm;

(2)分两种情况:
①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H.
∵AP=x,∴BP=10-x,BQ=2x,
∵△QHB∽△ACB,
QH
AC
=
QB
AB

∴QH=
8
5
x,
y=
1
2
BP•QH=
1
2
(10-x)•
8
5
x
=-
4
5
x2+8x(0<x≤3),
②当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′,
∵AP=x,
∴BP=10-x,AQ=14-2x,
∵△AQH′∽△ABC,
AQ
AB
=
QH
BC

即:
14-2x
10
=
QH′
6

解得:QH′=
3
5
(14-2x),
∴y=
1
2
PB•QH′=
1
2
(10-x)•
3
5
(14-2x)
=
3
5
x2-
51
5
x+42(3<x<7);

(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似.理由如下:
∵AP=x,
∴AQ=14-2x,
∵PQ⊥AB,
∴△APQ∽△ACB,
AP
AC
=
AQ
AB
=
PQ
BC

即:
x
8
=
14-2x
10
=
PQ
6

解得:x=
56
13
,PQ=
42
13

∴PB=10-x=
74
13

PQ
PB
=
42
13
74
13
=
21
37
BC
AC

∴当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理,以及最短距离问题.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.
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