Question

（2013•济南一模）如图，已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，如果点P由C出发沿CA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t．（单位：s）．（0≤t≤4）解答下列问题：
（1）求AC的长；
（2）当t为何值时，PQ∥BC；
（3）设△AQP的面积为S（单位：cm²），当t为何值时，s=

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5

cm²；
（4）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理直接求出AC的长即可；
（2）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；
（3）如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用s=

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5

cm²求出即可；
（4）要点是利用（3）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；

解答：解：（1）∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AC=

82+62

=10（cm）；

（2）当PQ∥BC时，
∵CP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BC，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，即

10-2t

10

=

2t

8

，
解得：t=

20

9

，
∴当t=

20

9

s时，PQ∥BC．

（3）如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，
∴

AP

AC

=

PD

BC

，
即

10-2t

10

=

PD

6

，
解得：PD=6-

6

5

t．
S=

1

2

×AQ×PD=

1

2

×2t×（6-

6

5

t）
=-

6

5

t²+6t=

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5

整理得出：
t²-5t+6=0，
（t-2）（t-3）=0，
解得：t₁=2，t₂=3，
故当t为2或3时，s=

36

5

cm²；

（4）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S_△AQP=

1

2

S_△ABC，而S_△ABC=

1

2

AC•BC=24，
∴此时S_△AQP=12．
由（2）可知，S_△AQP=-

6

5

t²+6t，
∴-

6

5

t²+6t=12，化简得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

点评：此题考查了相似三角形线段比例关系、勾股定理一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．