Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx与x轴交于O，A（4，0）两点，点B的坐标为（0，-3）.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）已知点P在抛物线的对称轴上，连接OP，BP. 若要使OP+BP的值最小，求出点P的坐标；

（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当直线y=x+m（m≠0）与这个新图象有两个公共点时，在反比例函数y=的图象中，y的值随x怎样变化？判断并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x=2；（2）点P的坐标为（2，-）；

（3）y的值随x的增大而增大.

【解析】分析：（1）把点A（4，0）代入y=x2+bx，求出b,在利用，即可求解.(2) 作O点关于直线x=2对称的点，而P在直线x=2上，则利用轴对称最短路径即可求解；（3）由翻转的性质，再利用根的判别式和反比例函数的性质可判断出y随x的增大而减小。

本题解析：

（1）由题意得： ∴b=-4, ∴函数关系式为;y=x-4x, ∴对称轴为： ；

（2）由题意得：OP+PB的值最小，实际就是在同一直线一旁有两点，在直线上求点只要取O点关于直线x=2对称的点A(4,0),过AB的直线与直线x=2的交点就是点p,

设过AB的直线为y=kx-3，由B(4,0)在y=kx-3上，∴0=4k-3,得k=,，

∵P在直线x=2上，∴y=,∴P(2,- ),

（3）∵y=x-4x在x轴下方的部分沿x轴翻转，

当直线y=x+m(m≠0)有两个不相同的解，∴△>0,3-4×m>0,得m<,又m>0, ∴0<m<,在反比例函数y=中，∵0<m=k<,y随x的增大而减小.