题目内容
(本题满分10分)如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为 ;用含t的式子表示点P的坐标为 ;(3分)
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有最大值?(4分)
(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3分)
(1)(6,4);()
(2)当时,S有最大值
(3)存在,在y轴上存在点T1(0,),T2(0,)符合条件解析:
解:(1)(6,4);().(其中写对B点得1分) 3分
(2)∵S△OMP =×OM×, 4分
∴S =×(6 -t)×=+2t.
=(0 < t <6). 6分
∴当时,S有最大值. 7分
(3)存在.
由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4),
则直线ON的函数关系式为:.
设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:,
解方程组得
∴直线ON与MT的交点R的坐标为.
∵S△OCN =×4×3=6,∴S△ORT = S△OCN =2. 8分
当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足,则S△OR1T1=••••RD1•OT =••b=2.
∴, b =.
∴b1 =,b2 =(不合题意,舍去)
此时点T1的坐标为(0,). 9分
② 当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E,由①得点E的横坐标为,作R2D2⊥CN交CN于点D2,则
S△R2NE=•EN•R2D2 =••=2.
∴,b=.
∴b1=,b2=(不合题意,舍去).
∴此时点T2的坐标为(0,).
综上所述,在y轴上存在点T1(0,),T2(0,)符合条件.…10分
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