Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N．以下四个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4个等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④当DM＝2时，则DC＝6．其中正确的结论是：_____（填序号）．

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

由已知条件，根据三角形内角和等于180°、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难．

∵∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高，

∴∠DAC＝45°，又∵∠ACB＝45°，

∴△ADC为等腰直角三角形．

∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N

∴∠ABM＝30°，

又∵∠BAM＝30°

∴△AMB为等腰三角形．

由题意可知∵∠NBC＝∠NCB＝30°

∴△BNC为等腰三角形．

∠PMN＝∠MNP＝60°

∴△MNP为等边三角形，故①正确；

∵∠ABE＝30°，∠BAC＝75°，

∴∠BEA＝75°，

∴△ABE为等腰三角形；

∴除了△PMN外，还有4个等腰三角形，故②正确；

∵AD，CF分别是BC，AB边上的高，

∴∠ADB＝∠BFC＝90°，

∴∠BAD＝∠ABD＝∠ABD+∠BCF＝90°，

∴∠BAD＝∠DCP，

∵∠ADB＝∠PDC＝90°，AD＝CD，

∴△ABD≌△CPD（ASA），故③正确；

在直角三角形BDM中，

∵MD＝2，∠MBD＝30°，

∴BM＝4，

在等腰三角形AMB中，BM＝AM，

∴AD＝AM+MD＝6，

在等腰直角三角形ADC中，AD＝DC，

∴DC＝6，故④正确；

故答案为：①②③④．