Question

如图，在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的半圆O与AB边交于点D，DE⊥AC于E．求证：DE是半圆O的切线．

Answer 1

证明：连接OD，如右图所示，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠ODG=90°，
∴OD⊥EG，
∴DE是⊙O的切线．
分析：先连接OD，由于AC=BC，易得∠A=∠ABC，而OD=OB，又能得到∠OBD=∠ODB，等量代换可得∠ODB=∠A，利用同位角相等两直线平行可知OD∥AC，而DE⊥AC，那么∠CED=90°，利用平行线性质可得∠ODG=90°，可证DE是⊙O的切线．
点评：本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质．解题的关键是连接OD，并证明OD∥AC．