Question

如图，在Rt△ABC中，E为斜边AB上一点，AE=4，EB=2，四边形DEFC为正方形，则阴影部分的面积为

4

．

Answer 1

分析：首先正方形CDEF的边长为a，易证得△ADE∽△EFB，根据相似三角形的对应边成比例，则可表示出AD与BF的长，然后由勾股定理，求得a²的值，继而求得阴影部分的面积．

解答：解：设正方形CDEF的边长为a，
∵四边形CDEF为正方形，∠ACB=90°，
∴DE∥CF，AC∥EF，
∴∠AED=∠B，∠A=∠FEB，
∴△ADE∽△EFB，
∴

AE

EB

=

DE

BF

=

AD

EF

=

4

2

=2，
∴DE=2BF，AD=2EF，
∴BF=

1

2

a，AD=2a，
∴AC=AD+CD=3a，AB=AE+BE=6，BC=CF+BF=

3

2

a，
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，
∴6²=（3a）²+（

3

2

a）²，
解得：a²=

16

5

，
∴S_阴影=S_△ADE+S_△BEF=

1

2

AD•DE+

1

2

EF•BF=

1

2

×2a×a+

1

2

×a×

1

2

a=

5

4

a²=

5

4

×

16

5

=4．
故答案为：4．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．