Question

已知：如图所示，在△ABC中，M是BC边上的中点．
求证：AM＜

1

2

（AB+AC）．

Answer 1

分析：延长AM到D，使MD=AM，连CD，根据SAS证△ABM≌△DCM，推出AB=CD，在△ACD中，根据三角形的三边关系定理得出AD＜AC+CD，代入求出即可．

解答：证明：延长AM到D，使MD=AM，连CD，
∵AM是BC边上的中线，
∴BM=CM，
∵在△ABM和△DCM中
∵

BM=CM ∠AMB=∠DMC AM=DM

，
∴△ABM≌△DCM（SAS）
∴AB=CD，
在△ACD中，则AD＜AC+CD，
即2AM＜AC+AB，
∴AM＜

1

2

（AB+AC）．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理，解此题的关键是通过作辅助线把要求的线段放在一个三角形中，题目比较好．