Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，O为正方形的中心，∠MON绕着O点自由的转动，角的两边与正方形的边BC、CD交于E、F．若∠MON=90°，正方形的面积等于S．求四边形OECF的面积．（用S表示）
下面给出一种求解的思路，你可以按这一思路求解，也可以选择另外的方法去求．
解：连接OB、OC．∵O为正方形的中心，∴∠BOC=

360

4

=90°，
∵∠MON=90°∴∠FOC+∠EOC=∠EOB+∠EOC=90°．∴∠FOC=∠EOB
（下面请你完成余下的解题过程）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），O是△ABC的中心，∠MON=120°，正三角形ABC的面积等于S．求四边形OECF的面积．（用S表示）
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，正n边形的面积等于S．请你作出猜想：当∠MON=

 

°时，四边形OECF的面积=

 

（用S表示，并直接写出答案，不需要证明）．

Answer 1

分析：（1）根据∠BOC=∠MON=90°，推出∠BOE=∠COF，又有∠OBE=∠OCF=45°，OB=OC，可证△OBE≌△OCF，根据全等三角形的面积相等，将S_{四边形OECF}转化为S_△BOC，得出与正方形面积S的关系；
（2）仿照（1）的推理方法，证明△OBE≌△OCF，将S_{四边形OECF}转化为S_△BOC，得出S_{四边形OECF}=

1

3

S；
（3）由（1）（2）可知解题一般思路，当正多边形有n个边时，∠MON=∠BOC=

360

n

，S_{四边形OECF}=S_△BOC=

S

n

．

解答：解：（1）∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠OCF=∠OBE=45°，OB=OC，
∵∠FOC=∠EOB，∴△OBE≌△OCF，
∴S_△FOC+S_△OEC=S_△EOB+S_△OEC，
即 S_{四边形OECF}=S_△BOC，
∵S_△BOC=

1

4

S，∴S_{四边形OECF}=

1

4

S；

（2）∵O为正三角形ABC的中心，
∴∠OCF=∠OBE=30°，OB=OC，∠BOC=120°，
∴∠FOC+∠EOC=∠EOB+∠EOC，∴∠FOC=∠EOB，
∴△OBE≌△OCF，
∴S_△FOC+S_△OEC=S_△EOB+S_△OEC，
即 S_{四边形OECF}=S_△BOC，
S_△BOC=

1

3

S，∴S_{四边形OECF}=

1

3

S；

（3）

360

n

，

S

n

．

点评：本题考查了旋转的性质，正多边形的性质，全等三角形的判定与性质．关键是用旋转的观点，将四边形的面积转化为三角形的面积，得出三角形在正多边形中，所占面积的比．