Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO面积．将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S．
（1）分析与计算：求正方形ODEF的边长；
（2）操作与求解：
①正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的变化情况是

 

；
A、逐渐增大  B、逐渐减少  C、先增大后减少  D、先减少后增大
②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值；
（3）探究与归纳：
设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据梯形及正方形的面积公式和它们的面积相等，可求出正方形的边长；
（2）由图形的移动可知，从OF出发，重叠部分面积逐渐增大，当OF和BC重合时面积最大，继续移动时，面积将减小；求重叠部分面积时，可将其转化为S_梯形AMDG+S_矩形AGCB．
（3）依据题意将图形平移，由于移动的距离不同，重叠部分为三角形、五边形和矩形，①利用三角形的面积公式列等式；②根据梯形面积公式列等式；③④利用分割法将五边形化为三角形和梯形解答；⑤根据矩形面积公式解答．

解答：解：（1）∵S_ODEF=S_ABCO=

1

2

（4+8）×6=36，（2分）
设正方形的边长为x，
∴x²=36，x=6或x=-6（舍去）．（2分）

（2）由图形的移动可知，从OF出发，重叠部分面积逐渐增大，
当OF和BC重合时面积最大，继续移动时，面积将减小．
故选C．（2分）
过点A作AG∥BC交x轴于G，所以AE=DG=EB-AB=6-4=2．当正方形ODEF顶点O移动到点C时，OD=OC-CD=8-6=2；
于是重叠部分的面积是S=S_梯形AMDG+S_矩形AGCB=

1

2

（3+6）×2+6×4=33．（3分）

（3）①当0≤x＜4时，重叠部分为三角形，如图①．
可得△OMO′∽△OAN，
∴

MO′

6

=

x

4

，MO′=

3

2

x．
∴S=

1

2

×

3

2

x•x=

3

4

x²．（1分）

②当4≤x＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．
S=（x-4+x）×6×

1

2

=6x-12．（1分）

③当6≤x＜8时，重叠部分为五边形，如图③．
可得，点A坐标为（4，6），故OA的解析式为：y=

3

2

x，
∴MD=

3

2

（x-6），AF=x-4．
S=

1

2

×（x-4+x）×6-

1

2

×

3

2

（x-6）（x-6）
=-

3

4

x²+15x-39．（1分）

④当8≤x＜10时，重叠部分为五边形，如图④．
S=SAFO'DM-SBFO′C=-

3

4

x²+15x-39-（x-8）×6
=-

3

4

x²+9x+9．（1分）

⑤当10≤x≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．S=[6-（x-8）]×6=-6x+84．（1分）

（用其它方法求解正确，相应给分）．

点评：在新课程理念指导下，通过建立平面直角坐标系，利用正方形与梯形，围绕图形的平移，把方程、特殊四边形、相似三角形、一次函数、二次函数、图形的面积等知识与操作探究融合为一体，既考查了学生综合运用知识解决问题的能力，又突出了学习数学活动的过程性，体现了一定的区分度．在操作探索过程中融入动与静、变与不变，分类讨论，数形结合等思想，解题时要学生切实把握几何图形的运动过程，并注重运动过程中的特殊过程，掌握在“动”中求“静”，在“静”中求“动”的一般规律，有效地考查了学生的数学素养和思维品质．同时，题中第（3）小题的思维迥异，解题方法多样，特别是重叠部分为五边形时，至少有四种解法，使不同层次的学生都有不同的发挥空间，不同的人获得不同的数学发展．本题将操作探究与综合知识点结合在一起，作为压轴题，较好地体现了接受与创新同途的新课程理念，突出了课改的导向．
[常见错误]
（1）题求边长用直观方法去判断，没有求解过程；
（2）对不规则图形的面积求法，不能用分割或补差法求解；
（3）对数学思想方法（运动思想、分类思想）缺乏，“动”中求“静”的思维方法不能掌握．在求解时不能很好地利用操作的过程去完成解答．