题目内容
(2012•平谷区二模)已知,如图,AB是⊙O的直径,点E是
的中点,连接BE交AC于点G,BG的垂直平分线CF交BG于H交AB于F点.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若AB=8,BC=6,求BE的长.
AD |
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若AB=8,BC=6,求BE的长.
分析:(1)连接AE,根据E为弧AD中点得出∠4=∠ABE,根据线段垂直平分线性质得出CG=BC,推出∠1=∠2,推出∠3+∠4=90°,根据∠1=∠3推出∠2+∠EBA=90°,根据切线判定推出即可;
(2)求出AC长,求出AG=4,证△EAG∽△EBA推出
=
,设AE=x,BE=2x,在Rt△AEB中,根据勾股定理求出x,即可求出BE.
(2)求出AC长,求出AG=4,证△EAG∽△EBA推出
AE |
BE |
1 |
2 |
解答:(1)证明:连接AE,
∵C在BG的垂直平分线CF上(已知),
∴CB=CG,
∴∠1=∠2,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠E=90°,
∴∠3+∠4=90°,
∵∠3=∠1=∠2,
∴∠2+∠4=90°,
∵
=
,
∴∠ABE=∠4,
∴∠2+∠ABE=90°,
即∠ABC=90°,
∵OB是半径,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
由勾股定理,可得 AC=
=10,
∵CG=CB=6,
∴AG=10-6=4,
∵∠E=∠E,∠4=∠ABE,
∴△AEG∽△BEA,
∴
=
=
=
,
设AE=x,BE=2x.
在Rt△AEB中,由勾股定理,可得 x2+(2x)2=82.解得:x=
,
∴BE=2x=
.
∵C在BG的垂直平分线CF上(已知),
∴CB=CG,
∴∠1=∠2,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠E=90°,
∴∠3+∠4=90°,
∵∠3=∠1=∠2,
∴∠2+∠4=90°,
∵
AE |
ED |
∴∠ABE=∠4,
∴∠2+∠ABE=90°,
即∠ABC=90°,
∵OB是半径,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
由勾股定理,可得 AC=
82+62 |
∵CG=CB=6,
∴AG=10-6=4,
∵∠E=∠E,∠4=∠ABE,
∴△AEG∽△BEA,
∴
AE |
EB |
AG |
AB |
4 |
8 |
1 |
2 |
设AE=x,BE=2x.
在Rt△AEB中,由勾股定理,可得 x2+(2x)2=82.解得:x=
8
| ||
5 |
∴BE=2x=
16
| ||
5 |
点评:本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线、切线的判定、相似三角形的性质和判定等知识点,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目综合性比较强,有一定的难度.
练习册系列答案
相关题目