Question

（2012•平谷区二模）如图是一个长方体，AB=3，BC=5，AF=6，要在长方体上系一根绳子连接AG，绳子与DE交于点P，当所用绳子的长最短时，AP的长为（　　）

• A．10
• B．

  34

• C．8
• D．

  25

  4

Answer 1

分析：将长方体右侧的面展开，与上面的面在同一个平面内，如图所示，连接AG，此时所用的绳子最短，由正方体的中平行的棱长相等，得到DC=AB=EG=3，AD=BC=5，DE=AF=6，由EG与AD平行，得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形EPG与三角形APD相似，由相似得比例，将EG，AD的长代入求出EP的长，进而求出PD的，在直角三角形APD中，由AD与PD的长，利用勾股定理即可求出AP的长．

解答：解：将长方体右侧的面展开，与上面的面在同一个平面内，连接AG，与ED交于P点，此时绳子的长最短，如图所示：
可得出：DC=AB=EG=3，AD=BC=5，DE=AF=6，
∵EG∥AD，
∴∠EGP=∠DAP，∠PEG=∠PDA，
∴△EPG∽△DPA，
∴

EG

DA

=

EP

DP

=

EP

ED-EP

，即

3

5

=

EP

6-EP

，
解得：EP=

9

4

，
∴PD=ED-EP=6-

9

4

=

15

4

，
在Rt△APD中，PD=

15

4

，AD=5，
根据勾股定理得：AP=

PD2+AD2

=

25

4

．
故选D

点评：此题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用了转化及数形结合的思想，立体图形的最短路径问题常常转化为平面图形，利用两点之间线段最短来解决．