Question

【题目】如图，已知直线y＝kx+6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，；（3）①；②Q点坐标为（0，）或（0， ）或（0，1）或（0，3）．

【解析】

（1）用待定系数法求解析式；（2）作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，设P（m，m），则m＝﹣m2+2m+3，可求m;（3）分类讨论：①如图，当∠Q1AB＝90°时，作AE⊥y轴于E，证△DAQ1∽△DOB，得，即；②当∠Q2BA＝90°时，∠DBO+∠OBQ2＝∠OBQ2+∠O Q2B＝90°，证△BOQ2∽△DOB，得，；③当∠AQ3B＝90°时，∠AEQ3＝∠BOQ3＝90°，证△BOQ3∽△Q3EA，，即；

解：（1）把A（1，4）代入y＝kx+6，

∴k＝﹣2，

∴y＝﹣2x+6，

由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3

∴B（3，0）．

∵A为顶点

∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2+4，

∴a＝﹣1，

∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3

（2）存在．

当x＝0时y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴C（0，3）

∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，

作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，

∴∠POM＝∠PON＝45°．

∴PM＝PN

∴设P（m，m），则m＝﹣m2+2m+3，

∴m＝，

∵点P在第三象限，

∴P（，）．

（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，作AE⊥y轴于E，

∴E（0，4）

∵∠DA Q1＝∠DOB＝90°，∠AD Q1＝∠BDO

∴△DAQ1∽△DOB，

∴，即，

∴DQ1＝，

∴OQ1＝，

∴Q1（0，）；

②如图，

当∠Q2BA＝90°时，∠DBO+∠OBQ2＝∠OBQ2+∠O Q2B＝90°

∴∠DBO＝∠O Q2B

∵∠DOB＝∠B O Q2＝90°

∴△BOQ2∽△DOB，

∴，

∴，

∴OQ2＝，

∴Q2（0，）；

③如图，当∠AQ3B＝90°时，∠AEQ3＝∠BOQ3＝90°，

∴∠AQ3E+∠E AQ3＝∠AQ3E+∠B Q3O＝90°

∴∠E AQ3＝∠B Q3O

∴△BOQ3∽△Q3EA，

∴，即，

∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，

∴OQ3＝1或3，

∴Q3（0，1）或（0，3）．

综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）．