题目内容
【题目】我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板．
把两块边长为4的等边三角形板
和
叠放在一起，使三角形板的顶点
与三角形板的AC边中点
重合，把三角形板固定不动，让三角形板绕点旋转，设射线
与射线
相交于点M，射线
与线段
相交于点N．
（1）如图1，当射线经过点
，即点N与点重合时，易证△ADM∽△CND．此时，AM·CN= ．
（2）将三角形板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为
．其中
，问AM·CN的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设AM= x，两块三角形板重叠面积为
，求与
的函数关系式．（图2，图3供解题用）
【答案】（1）4；（2）AMCN的值不会改变，理由见解析；（3）1＜x＜4时，y= 
；x≥4时，y=
．
【解析】
（1）证明△ADM∽△CND，根据相似三角形的性质来求解；
（2）不会改变，关键还是证△ADM∽△CND，已知一组60°角，根据旋转的性质可得∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似，因此结论不变；
（3）本题分两种情况进行讨论：①当0°＜α＜60°时；②当60°≤α＜90°时．
解：（1）∵∠A=∠C=∠D=60°，
∴∠ADM+∠CDN=120°，∠ADM+∠AMD=120°，
∴∠CDN=∠AMD，
∴△ADM∽△CND，
∴
，
∴AMCN=ADCD，
∵顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，
∴AD=CD=2，
∴AMCN=ADCD=2×2=4，
故答案为：4；
（2）AMCN的值不会改变．
连接BD，
在△ADM与△CND中，
∵∠A=∠C=60°，∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，
∴∠ADM=∠CND，
∴△ADM∽△CND
∴，
∴AMCN=ADCD=2×2=4，
∴AMCN的值不会改变；
（3）情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM＜4，即1＜x＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形DMBN，
如图2，过D作DQ⊥AB于Q，DG⊥BC于G，
∴DQ=DG=
，
由（2）知，AMCN=4，得CN=
，
于是y= 
（1＜x＜4）；
情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN，
如图3，过点D作DH∥BC交AM于H，易证△MBP∽△MHD，
∴
，
又∵MB=x-4，MH=x-2，DH=2,
∴BP=
，
∴PN=4－
于是y= 
，
综上所述，1＜x＜4时，y= ；x≥4时，y=．
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