Question

已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.

（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数；

（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.

（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数.

Answer 1

⑴ 1，60°                          

      ⑵ 不变化.

      证明：如图，点E在AP的延长线上，

∠BPE=α<60°.（只要画出了符合题意的图形即可得分）   

       

∵∠BPC=∠CPD+60°,

∠DPA=∠CPD+60°,

∴∠BPC=∠DPA.

在△BPC和△DPA中，

又∵BP=DP，PC=PA，

         ∴△BPC≌△DPA.                  

         ∴∠BCP=∠DAP.                  

        ∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC

= 120°-∠BCP -∠MAC

=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA

=120°-∠PAC

= 60°，且与α的大小无关.   

      ⑶ 不变化，60°