题目内容
【题目】如图,抛物线y= x2﹣mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣1).且对称轴x=1.
(1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标;
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABDC的面积为3?若存在,求出点D的坐标;若不存在.说明理由(使用图1);
(3)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2).
【答案】
(1)
解:∵抛物线与y轴交于点C(0,﹣1).且对称轴x=l.
∴ ,解得:
,
∴抛物线解析式为y= x2﹣
x﹣1,
令 x2﹣
x﹣1=0,得:x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0)
(2)
解:设在x轴下方的抛物线上存在D(a, )(0<a<3)使四边形ABCD的面积为3.
作DM⊥x轴于M,则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD,
∴S四边形ABDC= |xAyC|+
(|yD|+|yC|)xM+
(xB﹣xM)|yD|
= ×1×1+
[﹣(
a2﹣
a﹣1)+1]×a+
(3﹣a)[﹣(
a2﹣
a﹣1)]
=﹣ a2+
+2,
∴由﹣ a2+
+2=3,
解得:a1=1,a2=2,
∴D的纵坐标为: a2﹣
a﹣1=﹣
或﹣1,
∴点D的坐标为(1,﹣ ),(2,﹣1)
(3)
解:①当AB为边时,只要PQ∥AB,且PQ=AB=4即可,又知点Q在y轴上,所以点P的横坐标为﹣4或4,
当x=﹣4时,y=7;当x=4时,y= ;
所以此时点P1的坐标为(﹣4,7),P2的坐标为(4, );
②当AB为对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可,线段AB中点为G,PQ必过G点且与y轴交于Q点,
过点P3作x轴的垂线交于点H,
可证得△P3HG≌△Q3OG,
∴GO=GH,
∵线段AB的中点G的横坐标为1,
∴此时点P横坐标为2,
由此当x=2时,y=﹣1,
∴这是有符合条件的点P3(2,﹣1),
∴所以符合条件的点为:P1的坐标为(﹣4,7),P2的坐标为(4, );P3(2,﹣1).
【解析】(1)根据二次函数对称轴公式以及二次函数经过(0.﹣1)点即可得出答案;(2)根据S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD , 表示出关于a的一元二次方程求出即可;(3)分别从当AB为边时,只要PQ∥AB,且PQ=AB=4即可以及当AB为对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可,分别求出即可.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
