Question

△ABC内接于⊙O中，AD平分∠BAC交⊙O于D．

（1）如图1，连接BD，CD，求证：BD=CD
（2）如图2，若BC是⊙O直径，AB=8，AC=6，求BD长
（3）如图，若∠ABC的平分线与AD交于点E，求证：BD=DE

Answer 1

（1）答案见试题解析；（2）；（3）答案见试题解析．

试题分析：（1）由AD平分∠BAC交⊙O于D，可得=，即可证得BD=CD；
（2）由BC是⊙O直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=∠BDC=90°，然后由勾股定理求得答案；
（3）由∠ABC的平分线与AD交于点E，利用三角形外角的性质与圆周角定理可求得∠BED=∠DBE，继而可证得BD=DE．
试题解析：（1）证明：∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴=，∴BD=CD；
（2）解：∵BC是⊙O直径，∴∠BAC=∠BDC=90°，∵AB=8，AC=6，∴BC==10，∵BD=CD，∴BD=；
（3）证明：∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∠ABC的平分线与AD交于点E，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠BED=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠CBD，∵∠CBD=∠2，∴∠BED=∠DBE，∴BD=DE．