题目内容

【题目】已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.

(1)求此二次函数解析式;
(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三角形;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),

∴根据题意,得

解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.


(2)

解:由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4得,D点坐标为(1,4),

∴CD= =

BC= =3

BD= =2

∵CD2+BC2=( 2+(3 2=20,BD2=(2 2=20,

∴CD2+BC2=BD2

∴△BCD是直角三角形;


(3)

解:存在.

y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1.

①若以CD为底边,则P1D=P1C,

设P1点坐标为(x,y),根据勾股定理可得P1C2=x2+(3﹣y)2,P1D2=(x﹣1)2+(4﹣y)2

因此x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2

即y=4﹣x.

又P1点(x,y)在抛物线上,

∴4﹣x=﹣x2+2x+3,

即x2﹣3x+1=0,

解得x1= ,x2= <1,应舍去,

∴x=

∴y=4﹣x=

即点P1坐标为( ).

②若以CD为一腰,

∵点P2在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P2与点C关于直线x=1对称,

此时点P2坐标为(2,3).

∴符合条件的点P坐标为( )或(2,3).


【解析】(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式;(2)分别求得线段BC、CD、BD的长,利用勾股定理的逆定理进行判定即可;(3)分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论.运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系,再结合抛物线解析式即可求解.

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