题目内容
如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于B（-1，0），A（3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设此抛物线与直线y=-x在第二象限交于点D，平行于y轴的直线x=m(-1-
| 5 |
分析：（1）A，B的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c确定解析式．
（2）A，B关于对称轴对称，BC与对称轴的交点就是点Q．
（3）四边形BNCM的面积等于△MNB面积+△MNC的面积．
（2）A，B关于对称轴对称，BC与对称轴的交点就是点Q．
（3）四边形BNCM的面积等于△MNB面积+△MNC的面积．
解答：解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于B（-1，0）、A（3，0）两点，
将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：-1-b+c=0，-9+3b+c=0
解得：b=2，c=3
所以，该抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；（2分）
（2）存在（1分）
∵由前面的计算可以得到，C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x=1（1分）
∴由抛物线的对称性，点A、B关于直线x=1对称，
∴当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小
∴当点Q在直线BC上时QC+QA最小，（1分）
此时：直线BC的解析式为y=x+3，
当x=1时，y=4，
∴在该抛物线的对称轴上是否存在点Q（1，4），使得△QAC的周长最小（2分）
（3）由题意，M（m，-m2-3m+4），N（m，-m）（2分）
∴线段MN=-m2-3m+4-（-m）=-m2-2m+4=-（m+1）2+5
∵S四边形BNCM=S△BMN+S△CMN=0.5MN×BO=2MN=-2（m+1）2+10（2分）
∴当m=-1时（在-1-
＜m＜0内），四边形BNCM的面积S最大．（1分）
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于B（-1，0）、A（3，0）两点，将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：-1-b+c=0，-9+3b+c=0
解得：b=2，c=3
所以，该抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；（2分）
（2）存在（1分）
∵由前面的计算可以得到，C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x=1（1分）
∴由抛物线的对称性，点A、B关于直线x=1对称，
∴当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小
∴当点Q在直线BC上时QC+QA最小，（1分）
此时：直线BC的解析式为y=x+3，
当x=1时，y=4，
∴在该抛物线的对称轴上是否存在点Q（1，4），使得△QAC的周长最小（2分）
（3）由题意，M（m，-m2-3m+4），N（m，-m）（2分）
∴线段MN=-m2-3m+4-（-m）=-m2-2m+4=-（m+1）2+5
∵S四边形BNCM=S△BMN+S△CMN=0.5MN×BO=2MN=-2（m+1）2+10（2分）
∴当m=-1时（在-1-
| 5 |
点评：求直线上一点到直线外同旁两点的距离之和最小的问题是通过对称转化为两点之间线段最短解决．不规则几何图形的面积问题往往是转化为规则几何图形的面积解决．
练习册系列答案
相关题目
26、已知：如图，抛物线C1，C2关于x轴对称；抛物线C1，C3关于y轴对称．抛物线C1，C2，C3与x轴相交于A、B、C、D四点；与y相交于E、F两点；H、G、M分别为抛物线C1，C2，C3的顶点．HN垂直于x轴，垂足为N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|HG|
如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
以P为圆心的圆经过点A，并且与直线BM相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴两交点是A（-1，0），B（3，0），则如图可知y＜0时，x的取值范围是（ ）| A、-1＜x＜3 | B、3＜x＜-1 | C、x＞-1或x＜3 | D、x＜-1或x＞3 |