Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜边AB上一点．以O为圆心，OB为半径的圆与BC交于点F，与AB交于点D，与AC相切于点为E，且AD：BD=1：2．
（1）求∠A的正切值．
（2）若BF=1，求

DF

的长．

Answer 1

分析：（1）如果连接OE，根据切线的性质AE⊥OE，可通过AD，AB的比例关系得出OE=AD=OD，即可得出∠A的正弦值，进而可求出∠A的度数，也就知道了∠A的正切值．
（2）有了∠A的度数，就能求出∠B的度数，∠B的度数乘以2就是弧DF所对的圆心角的度数，有了圆心角的度数，有半径的长（BF=OE=OB），可根据弧长的计算公式求出弧DF的长．

解答：解：（1）连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∵AD：BD=1：2，且OE：BD=1：2，
∴OE=OD=AD，
∴OE：AO=1：2，
在Rt△AOE中，
∵sinA=

OE

AO

，OE：AO=1：2，
∴sinA=

1

2

，
∠A=30°，
∴tanA=

3

3

；

（2）连接OF，
∵∠B=90°-∠A=60°，OF=OB，
∴△OFB是等边三角形，
∴OF=OB=1，∠DOF=120°，
∴弧DF的长=

120×π×1

180

=

2π

3

．

点评：本题主要考查了切线的性质，弧长的计算公式以及圆周角定理等知识，根据线段的比例关系求出角的度数是解题的关键．