Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D停止，当运动时间为秒时，△MBN为等腰三角形．

Answer 1

【答案】 或（12﹣4 ）或
【解析】解：①如图1，点M在AB上，点N在BC上时，t＜4，BM=10﹣2t，BN=t，
∵BM=BN，
∴10﹣2t=t，
解得t= ，
②如图2，点M在BC上，点N在CD上时，5＜t＜7，BM=2t﹣10，CM=4﹣（2t﹣10）=14﹣2t，
CN=t﹣4，
在Rt△MCN中，MN2=（14﹣2t）2+（t﹣4）2 ，
∵BM=MN，
∴（2t﹣10）2=（14﹣2t）2+（t﹣4）2 ，
整理得，t2﹣24t+112=0，
解得t1=12﹣4 ，t2=12+4 （舍去），
③如图3，点M、N都在C、D上时，t＞7，若点M在点N的右边，则CM=2t﹣14，MN=t﹣（2t﹣14）=14﹣2t，
此时BM2=（2t﹣14）2+42 ，
∵BM=MN，
∴（2t﹣14）2+42=（14﹣2t）2 ， 无解，
若点M在点N的左边，则CN=t﹣4，
MN=（2t﹣14）﹣（t﹣4）=t﹣10，
此时BN2=（t﹣4）2+42 ，
∵BN=MN，
∴（t﹣4）2+42=（t﹣10）2 ，
整理得，t= （不符合题意，舍去），
④如图④，点M在AB上，点N在CD上时，BM=10﹣2t，CN=t﹣4，
由等腰三角形三线合一的性质，CN= BM，
所以，t﹣4= （10﹣2t），
解得t= ，
综上所述，当运动时间为 或（12﹣4 ）或 秒时，△MBN为等腰三角形．
所以答案是： 或（12﹣4 ）或 ．



【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和矩形的性质，需要了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能得出正确答案．