题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=4cm,M,N两点分别从A,B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动,其中有一点运动到点D停止,当运动时间为秒时,△MBN为等腰三角形.

【答案】 或(12﹣4 )或
【解析】解:①如图1,点M在AB上,点N在BC上时,t<4,BM=10﹣2t,BN=t,
∵BM=BN,
∴10﹣2t=t,
解得t=
②如图2,点M在BC上,点N在CD上时,5<t<7,BM=2t﹣10,CM=4﹣(2t﹣10)=14﹣2t,
CN=t﹣4,
在Rt△MCN中,MN2=(14﹣2t)2+(t﹣4)2
∵BM=MN,
∴(2t﹣10)2=(14﹣2t)2+(t﹣4)2
整理得,t2﹣24t+112=0,
解得t1=12﹣4 ,t2=12+4 (舍去),
③如图3,点M、N都在C、D上时,t>7,若点M在点N的右边,则CM=2t﹣14,MN=t﹣(2t﹣14)=14﹣2t,
此时BM2=(2t﹣14)2+42
∵BM=MN,
∴(2t﹣14)2+42=(14﹣2t)2 , 无解,
若点M在点N的左边,则CN=t﹣4,
MN=(2t﹣14)﹣(t﹣4)=t﹣10,
此时BN2=(t﹣4)2+42
∵BN=MN,
∴(t﹣4)2+42=(t﹣10)2
整理得,t= (不符合题意,舍去),
④如图④,点M在AB上,点N在CD上时,BM=10﹣2t,CN=t﹣4,
由等腰三角形三线合一的性质,CN= BM,
所以,t﹣4= (10﹣2t),
解得t=
综上所述,当运动时间为 或(12﹣4 )或 秒时,△MBN为等腰三角形.
所以答案是: 或(12﹣4 )或



【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和矩形的性质,需要了解等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等才能得出正确答案.

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