题目内容

如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4
2
．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；
（2）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．
分析：（1）当PQ过A时求出t=4，当E在AB上时求出t=
16
3
，当P到C点时t=8，即分为三种情况：根据三角形面积公式求出当0＜t≤4时，S=
1
4
t2，当4＜t≤
16
3
时，S=-
3
4
t2+8t-16，当
16
3
＜t＜8时，S=
3
4
t2-12t+48；
（2）存在，当点D在线段AB上时，求出QD=PD=t，PD=2t，过点A作AH⊥BC于点H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出AP=
AH2+PH2
=
t2-8t+32
，（ⅰ）若AP=PQ，则有
t2-8t+32
=2t，（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，根据△PGQ∽△AHP求出PG=
8t
t2-8t+32
，若AQ=PQ，得出
8t
t2-8t+32
=
1
2
t2-8t+32
．（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，得出4=
1
2
×2t，求出方程的解即可；
（3）四边形PMAN的面积不发生变化，连接AP，此时t=4秒，求出S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=
1
2
×CP×AP=8．
解答：解：（1）当0＜t≤4时，S=
1
4
t2，
当4＜t≤
16
3
时，S=-
3
4
t2+8t-16，
当
16
3
＜t＜8时，S=
3
4
t2-12t+48；

（2）存在，理由如下：
当点D在线段AB上时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=
1
2
（180°-∠BAC）=45°．
∵PD⊥BC，
∴∠BPD=90°，
∴∠BDP=45°，
∴PD=BP=t，
∴QD=PD=t，
∴PQ=QD+PD=2t．
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=
1
2
BC=4，AH=BH=4，
∴PH=BH-BP=4-t，
在Rt△APH中，AP=
AH2+PH2
=
t2-8t+32
；
（ⅰ）若AP=PQ，则有
t2-8t+32
=2t．
解得：t1=
4
7
-4
3
，t2=
-4
7
-4
3
（不合题意，舍去）；
（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，如图（1），
∵∠BPQ=∠BHA=90°，
∴PQ∥AH．
∴∠APQ=∠PAH．
∵QG⊥AP，
∴∠PGQ=90°，
∴∠PGQ=∠AHP=90°，
∴△PGQ∽△AHP，
∴
PG
AH
=
PQ
AP
，即
PG
4
=
2t
t2-8t+32
，
∴PG=
8t
t2-8t+32
，
若AQ=PQ，由于QG⊥AP，则有AG=PG，即PG=
1
2
AP，
即
8t
t2-8t+32
=
1
2
t2-8t+32
．
解得：t1=12-4
7
，t2=12+4
7
（不合题意，舍去）；
（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，如图（2），
易知四边形AHPT是矩形，故PT=AH=4．
若AP=AQ，由于AT⊥PQ，则有QT=PT，即PT=
1
2
PQ，
即4=
1
2
×2t．解得t=4．
当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．
综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即t1=
4
7
-4
3
秒或t2=（12-4
7
）秒；

（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：
∵等腰直角三角形PQE，
∴∠EPQ=45°，
∵等腰直角三角形PQF，
∴∠FPQ=45°．
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，
连接AP，如图（3），
∵此时t=4秒，
∴BP=4×1=4=
1
2
BC，
∴点P为BC的中点．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AP⊥BC，AP=
1
2
BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=
1
2
∠BAC=45°，
∴∠APC=90°，∠C=45°，
∴∠C=∠BAP=45°，
∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，
∠EPF=∠APM+∠APN=90°，
∴∠CPN=∠APM，
∴△CPN≌△APM，
∴S△CPN=S△APM，
∴S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=
1
2
×CP×AP=
1
2
×4×4=8．
∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．
点评：本题考查了三角形面积，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大．
练习册系列答案
相关题目
（2013•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD=6，AC=8，求AE．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点D，求点D到BC的距离．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将三角板中一个30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
（1）画出符合条件的图形．连接EF后，写出与△ABC一定相似的三角形；
（2）设AD=x，CF=y．求y与x之间函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．
如图，在Rt△ABC中，BD⊥AC，sinA=
3
5
，则cos∠CBD的值是（　　）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE，点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在AD上以
5
cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为
（t-2）
（t-2）
cm，（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AB边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网