题目内容
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.
(1)以AB边上一点O为圆心,过A、D两点作⊙O(不写作法,保留作图痕迹),再判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E,AB=6,BD=2 ,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积(结果保留根号和π).
解:(1)如图 (需保留线段AD中垂线的痕迹).
直线BC与⊙O相切.理由如下:
连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAC.
∴∠ODA=∠DAC.
∴OD∥AC.
∵∠C=90°,∴∠ODB=90°,即OD⊥BC.
又∵直线BC过半径OD的外端,
∴BC为⊙O的切线.
(2)设OA=OD=r,
在Rt△BDO中,OD2+BD2=OB2,
∴r2+(2 )2=(6-r)2,解得r=2.
∵tan∠BOD==,∴∠BOD=60°.
∴S扇形ODE==π.
∴所求图形面积为S△BOD-S扇形ODE=2 -π.
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