Question

（2012•镇江）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠ECF=

2

5

，求弦AC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC．欲证FC是⊙O的切线，只需证明FC⊥OC即可；
（2）连接BC．利用（1）中的∠AED=∠FEC=∠ECF、圆周角定理求得BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10×

2

5

=4；然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AC的长度即可．

解答：（1）证明：连接OC．
∵FC=FE（已知），
∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）；
又∵∠AED=∠FEC（对顶角相等），
∴∠FCE=∠AED（等量代换）；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；
∵DF⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠FCE+∠OCA=90°，即FC⊥OC，
∴FC是⊙O的切线；

（2）解：连接BC．
∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AB=2OA=10，
∴∠A+∠ABC=90°．
∵DF⊥AB，
∴∠A+∠AED=90°，
∴∠A+∠ABC=∠A+∠AED，即∠ABC=∠AED；
由（1）知，∠AED=∠FEC=∠ECF，
∴BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10×

2

5

=4，
∴AC=

AB2-BC2

=

102-42

=2

21

．

点评：本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．