题目内容
（2012•河源）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．
分析：（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；
（2）由AD2=AE•AC，可得
=
，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．
（2）由AD2=AE•AC，可得
| AE |
| AD |
| AD |
| AC |
解答：
证明：（1）如图，∵∠A与∠B是
对的圆周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）如图，
∵AD2=AE•AC，
∴
=
，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴
=
，
∴CD=CB．
证明：（1）如图，∵∠A与∠B是 |
| CD |
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）如图，
∵AD2=AE•AC，
∴| AE |
| AD |
| AD |
| AC |
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴
|
| CD |
|
| BC |
∴CD=CB．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
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