题目内容
【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当△BCP的面积最大时,求点P的坐标和△BCP的最大面积.
(3)当△BCP的面积最大时,在抛物线上是否点Q(异于点P),使△BCQ的面积等于△BCP,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)P点坐标为(,﹣)时,△BCP的面积最大,最大面积为;(3)存在,Q点坐标为
【解析】试题分析:(1)直接用代入法求函数的解析式;(2)连接BC,过点P作y轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,求直线BC的函数解析式,设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),则M点坐标为(x,x﹣3),则PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,由S△PBC=PM OH+PM HB=PM(OH+HB)=PM OB=PM,当PM有最大值时,△PBC的面积最大,由PM=﹣x2+3x=-(x﹣)2+可得,当x=时,有最大值PM=,则S△PBC=×=,把x=代入 x2﹣2x﹣3=﹣,则点P的坐标为(,﹣);(3)求出直线Q1Q2的解析式,再求它与二次函数交点坐标即为所求;
试题解析:
(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2) 连接BC,过点P作y轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,如图所示:
在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,则点B的坐标为(3,0),令x=0,y=-3,则点C的坐标为(0,-3),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴直线BC解析式为y=x﹣3,
设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),则M点坐标为(x,x﹣3),
∵P点在第四限,
∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△PBC=PM OH+PM HB=PM(OH+HB)=PM OB=PM,
∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,
∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+,
∴当x=时,有最大值PM=,则S△PBC=×=,
此时P点坐标为(,﹣), S△PBC=,
即当P点坐标为(,﹣)时,△BCP的面积最大,最大面积为;
(3)∵△BCP的面积面积为
∴△BCP的高是 ,
作直线BC的平行的直线Q1Q2,且距离直线BC为,
∵直线BC的函数为y=x-3,
∴直线Q1Q2的解析式为y=x- ,
又∵二次函数的解析线为y=x2﹣2x﹣3,
∴两条直线交点Q2坐标为,Q1的坐标为。
∴存在,Q点坐标为。