题目内容

【题目】如图,抛物线y=x2+bx+cx轴交于AB两点,B点坐标为(30),与y轴交于点C0﹣3

1)求抛物线的解析式;

2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当BCP的面积最大时,求点P的坐标和BCP的最大面积.

3)当BCP的面积最大时,在抛物线上是否点Q(异于点P),使BCQ的面积等于BCP,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x22x3;(2P点坐标为()时,BCP的面积最大,最大面积为;(3)存在,Q点坐标为

【解析】试题分析:(1)直接用代入法求函数的解析式;(2连接BC,过点Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,求直线BC的函数解析式,设P点坐标为(xx22x3),则M点坐标为(xx3),PM=x3x22x3=x2+3xSPBC=PM OH+PM HB=PMOH+HB=PM OB=PM,当PM有最大值时,PBC的面积最大,由PM=x2+3x=-(x2+可得,当x=时,有最大值PM=,则SPBC=×=,x=代入 x22x3,则点P的坐标为);(3求出直线Q1Q2的解析式,再求它与二次函数交点坐标即为所求;

试题解析:

(1)把BC两点坐标代入抛物线解析式可得,解得

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3

(2) 连接BC,过点Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H如图所示:

y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1x=3,则点B的坐标为(30),令x=0,y=-3,则点C的坐标为(0,-3),

B30),C03),
∴直线BC解析式为y=x3
P点坐标为(xx22x3),则M点坐标为(xx3),
P点在第四限,
PM=x3x22x3=x2+3x
SPBC=PM OH+PM HB=PMOH+HB=PM OB=PM
∴当PM有最大值时,PBC的面积最大,
PM=x2+3x=x2+
∴当x=时,有最大值PM=,则SPBC=×=
此时P点坐标为(), SPBC=
即当P点坐标为()时,BCP的面积最大,最大面积为

(3)BCP的面积面积为

BCP的高是

作直线BC的平行的直线Q1Q2,且距离直线BC

∵直线BC的函数为y=x-3

∴直线Q1Q2的解析式为y=x- ,

又∵二次函数的解析线为y=x2﹣2x﹣3

∴两条直线交点Q2坐标为,Q1的坐标为

存在,Q点坐标为

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