题目内容
如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC边、CD边上的动点,满足∠EAF=45°.
(1)求证:BE+DF=EF;
(2)若正方形边长为1,求△CEF内切圆半径的最大值.
(1)求证:BE+DF=EF;
(2)若正方形边长为1,求△CEF内切圆半径的最大值.
(1)证明:延长FD到G,使DG=BE,连接AG,
∵在△GDA和△EBA中,
,
∴△GDA≌△EBA,
∴AG=AE,∠GAD=∠EAB,
故∠GAF=45°,
在△GAF和△EAF中,
∵
,
∴△GAF≌△EAF,
∴GF=EF,
即GD+DF=BE+DF=EF;
(2)令BE=a,DF=b,则EF=a+b,r=
=1-(a+b),
∵(1-a)2+(1-b)2=(a+b)2,
整理得1-(a+b)=ab,而ab≤
(a+b)2,
(a+b)2+(a+b)-1≥0,
解得:a+b≥-2+2
或a+b≤-2-2
(舍去),
r=1-(a+b)≤1-(-2+2
)=3-2
,
当且仅当a=b=
-1时,等号成立.
∵在△GDA和△EBA中,
|
∴△GDA≌△EBA,
∴AG=AE,∠GAD=∠EAB,
故∠GAF=45°,
在△GAF和△EAF中,
∵
|
∴△GAF≌△EAF,
∴GF=EF,
即GD+DF=BE+DF=EF;
(2)令BE=a,DF=b,则EF=a+b,r=
1-a+1-b-(a+b) |
2 |
∵(1-a)2+(1-b)2=(a+b)2,
整理得1-(a+b)=ab,而ab≤
1 |
4 |
1 |
4 |
解得:a+b≥-2+2
2 |
2 |
r=1-(a+b)≤1-(-2+2
2 |
2 |
当且仅当a=b=
2 |
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