题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,⊙O经过A,B,D三点.

(1)求证:AB是⊙O的直径;

(2)判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明;

(3)若⊙O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长.

【答案】1)证明见解析;(2DE与圆O相切;(3

【解析】试题分析:(1)连接AD,根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC,再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB⊙O的直径;(2DE与圆O相切,理由为:连接OD,利用中位线定理得到OD∥AC,利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角,再由OD为半径,即可得证;(3)由AB=AC,且∠BAC=60°,得到DABC为等边三角形,连接BFDEDCBF中位线,求出BF的长,即可确定出DE的长.

试题解析:(1)证明:连接ADAB=ACBD=DCADBC∴∠ADB=90°ABO的直径;(2DEO相切,理由为:连接ODOD分别为ABBC的中点,ODABC的中位线,ODBCDEBCDEODODO的半径,DEO相切;(3)解:连接BFAB=ACBAC=60°∴△ABC为等边三角形,AB=AC=BC=6ABO的直径,∴∠AFB=DEC=90°AF=CF=3DEBFDBC中点,ECF中点,DE=BF,在RtABF中,AFB=90°AB=6AF=3BF=,则DE=BF=

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