题目内容
(2012•建阳市模拟)如图,在平面直角坐标系中,将一块腰长为
的等腰直角三角尺ABC放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为(-1,0),点B的坐标为(-3,1),点B在抛物线y=ax2+ax-2上.
(1)点A的坐标为
(2)设(1)中抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;
(3)将三角尺ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达△AB′C′的位置.请判断点B′、C′是否在(1)中的抛物线上,并说明理由.
【提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-
,顶点坐标是(-
,
)].
5 |
(1)点A的坐标为
(0,2)
(0,2)
;抛物线的关系式为y=
x2+
x-2
1 |
2 |
1 |
2 |
y=
x2+
x-2
;1 |
2 |
1 |
2 |
(2)设(1)中抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;
(3)将三角尺ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达△AB′C′的位置.请判断点B′、C′是否在(1)中的抛物线上,并说明理由.
【提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-
b |
2a |
b |
2a |
4ac-b2 |
4a |
分析:(1)求A点的坐标就是求OA的长,可在直角三角形OAC中,根据AC=
,OC=1来求出OA的长,即可得出A的坐标.如果过B作x轴的垂线,假设垂足为F,那么△ACO≌△CBH,OA=CF,BF=OC,由此可求出B的坐标;将已经求出的A,B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式;
(2)根据(1)的函数关系式即可求出D点的坐标.求△DBC的面积时,可将△DBC分成△CBE和△DCE两部分(假设BD交x轴于E).可先根据B,D的坐标求出BD所在直线的解析式,进而求出E点的坐标,那么可求出CE的长,然后以B,D两点的纵坐标的绝对值分别作为△BCE和△DCE的高,即可求出△DBC的面积;
(3)本题的关键是求出B′,C′两点的坐标.过点B′作B′M⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,过点C″作C″P⊥y轴于点P.然后仿照(1)中求坐标时的方法,通过证Rt△AB′M≌Rt△BAN来得出B′的坐标.同理可得出C′的坐标.然后将两点的坐标分别代入抛物线的解析式中,进而可判断出两点是否在抛物线上.
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(2)根据(1)的函数关系式即可求出D点的坐标.求△DBC的面积时,可将△DBC分成△CBE和△DCE两部分(假设BD交x轴于E).可先根据B,D的坐标求出BD所在直线的解析式,进而求出E点的坐标,那么可求出CE的长,然后以B,D两点的纵坐标的绝对值分别作为△BCE和△DCE的高,即可求出△DBC的面积;
(3)本题的关键是求出B′,C′两点的坐标.过点B′作B′M⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,过点C″作C″P⊥y轴于点P.然后仿照(1)中求坐标时的方法,通过证Rt△AB′M≌Rt△BAN来得出B′的坐标.同理可得出C′的坐标.然后将两点的坐标分别代入抛物线的解析式中,进而可判断出两点是否在抛物线上.
解答:解:由题意得
(1)∵AC=,CO=1,
∴AO=
=2,
∴A(0,2),
做BF⊥OC,
∵BC=AC,∠AOC=∠BFC,
∠CAO=∠BCF,
∴△BFC≌△COA,
∴CF=AO=2,
∴B(-3,1)
将B(-3,1)代入y=ax2+ax-2得:
1=9a-3a-2,
∴a=
,
∴y=
x2+
x-2.
(2)如图1,可求得抛物线的顶点(-
,
).
设直线BD的关系式为y=kx+b,将点B、D的坐标代入,
求得k=-
,b=-
,
∴BD的关系式为y=-
x-
.
设直线BD和x轴交点为E,则点E(
,0),CE=
.
∴△DBC的面积为SCBE+SCED=
×
×1+
×
×
,
=
.
(3)如图2,过点B′作B′M⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,
过点C″作C″P⊥y轴于点P.(8分)
在Rt△AB′M与Rt△BAN中,
∵AB=AB′,∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB,
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN.
∴B′M=AN=1,AM=BN=3,
∴B′(1,-1).
同理△AC′P≌△CAO,C′P=OA=2,AP=OC=1,可得点C′(2,1);
将点B′、C′的坐标代入y=
x2+
x-2,可知点B′、C′在抛物线上.
(事实上,点P与点N重合)
(1)∵AC=,CO=1,
∴AO=
(
|
∴A(0,2),
做BF⊥OC,
∵BC=AC,∠AOC=∠BFC,
∠CAO=∠BCF,
∴△BFC≌△COA,
∴CF=AO=2,
∴B(-3,1)
将B(-3,1)代入y=ax2+ax-2得:
1=9a-3a-2,
∴a=
1 |
2 |
∴y=
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)如图1,可求得抛物线的顶点(-
1 |
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设直线BD的关系式为y=kx+b,将点B、D的坐标代入,
求得k=-
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4 |
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4 |
∴BD的关系式为y=-
5 |
4 |
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4 |
设直线BD和x轴交点为E,则点E(
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5 |
∴△DBC的面积为SCBE+SCED=
1 |
2 |
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5 |
1 |
2 |
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=
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(3)如图2,过点B′作B′M⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,
过点C″作C″P⊥y轴于点P.(8分)
在Rt△AB′M与Rt△BAN中,
∵AB=AB′,∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB,
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN.
∴B′M=AN=1,AM=BN=3,
∴B′(1,-1).
同理△AC′P≌△CAO,C′P=OA=2,AP=OC=1,可得点C′(2,1);
将点B′、C′的坐标代入y=
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2 |
1 |
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(事实上,点P与点N重合)
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、图形旋转变换等重要知识点;综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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