Question

如图，函数y=

k

x

（x＞0，k＞0）的图象经过A（1，4），B（m，n），其中m＞1，过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB，AC与BD相交于点E．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）四边形ABCD能否成为平行四边形？若能，求点B的坐标，若不能说明理由；
（3）当AC=BD时，求证：四边形ABCD是等腰梯形．

Answer 1

分析：（1）将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B的坐标代入反比例解析式中，求出mn的值，三角形ABD的面积由BD为底边，AE为高，利用三角形面积公式来求，由B的坐标得到BD=m，由AC-EC表示出AE，由已知的面积，利用面积公式列出关系式，将mn的值代入，求出m的值，进而确定出n的值，即可得到B的坐标；
（2）假设四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到BD与AC互相平分，得到E为AC的中点，E为BD的中点，由A的坐标求出E的坐标，进而确定出B的坐标，将B坐标代入反比例解析式检验，B在反比例图象上，故假设正确，四边形ABCD能为平行四边形；
（3）由由AC=BD，得到A的纵坐标与B的横坐标相等，确定出B的横坐标，将B横坐标代入反比例解析式中求出B的纵坐标，得到B的坐标，进而确定出E的坐标，得到DE=CE=1，由AC=BD，利用等式的性质得到AE=BE，进而得到两对对应边成比例，且由对顶角相等得到夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，得到三角形DEC与三角形AEB相似，由相似三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到CD与AB平行，而在直角三角形ADE与直角三角形BEC中，DE=EC，AE=BE，利用勾股定理得到AD=BC，且AD与BC不平行，可得出四边形ABCD为等腰梯形．

解答：解：（1）将A（1，4）代入反比例解析式得：4=

k

1

，即k=4，
∴反比例解析式为y=

4

x

，将B（m，n）代入得：mn=4，
∴BD=m，AE=AC-EC=4-n，
∵S_△ABD=

1

2

AE•BD=

1

2

m（4-n）=4，
∴2m-

1

2

mn=2m-2=4，解得：m=3，
∴n=

4

3

，
则B（3，

4

3

）；
（2）四边形ABCD能成为平行四边形．理由为：
若四边形ABCD为平行四边形，则AC、BD互相平分，即E为AC、BD的中点，
∵A（1，4），
∴E（1，2），B（2，2），
将x=2代入反比例解析式得：y=

4

2

=2，即B在反比例解析式y=

4

x

上，
则四边形ABCD能成为平行四边形；
（3）证明：∵AC=BD，A（1，4），B（m，n）
∴m=4，又B（m，n）在反比例函数y=

4

x

上，
∴B（4，1），
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴E（1，1），即DE=CE=1，
∵AC=BD，
∴AC-EC=BD-DE，即AE=EB=3，
在△DEC和△BAE中，∠CED=∠AEB，

DE

EB

=

EC

AE

=

1

3

，
∴△DEC∽△BAE，
∴∠CDE=∠ABE，
∴CD∥AB，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，由AE=BE=3，DE=CE=1，
根据勾股定理得：AD=BC=

10

，
又AD与BC不平行，
则四边形ABCD为等腰梯形．

点评：此题属于反比例综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，以及等腰梯形的判定，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．