题目内容
【题目】已知:如图1,菱形ABCD的边长为6,∠DAB=60°,点E是AB的中点,连接AC、EC.点Q从点A出发,沿折线A—D—C运动,同时点P从点A出发,沿射线AB运动,P、Q的速度均为每秒1个单位长度;以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF,△PQF与△AEC重叠部分的面积为S,当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动,设运动的时间为t.
(1)当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时,求运动时间t的值;当等边△PQF的边QF恰好经过点E时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)如图2,当点Q到达C点时,将等边△PQF绕点P旋转α ° (0<α<360°),直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N.是否存在这样的α ,使△CMN为等腰三角形?若存在,请直接写出此时线段CM的长度;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)根据题意求出运动的距离,再除以速度即可求出时间;
(2)分当0<t≤3时,当3<t≤6时,当6<t≤9时,当9<t≤12时,四种情况,分别求出重叠部分面积即可;
(3)分交点都在BC左侧,顶角为120°,交点都在BC右侧时,顶角可能为30°和120°;交点在BC两侧时,顶角为150°进行讨论求解即可.
解:(1)当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时,
如图1,
AQ=AD=6,
∴t=6÷1=6(秒);
当等边△PQF的边QF恰好经过点E时,
如图2,
由菱形ABCD的边长为6,∠DAB=60°,P、Q的速度均为每秒1个单位长度,
知:∠APQ=60°,∠QEB=60°,
∴QE∥AD,
∵点E是AB的中点,
∴此时点Q是CD的中点,
可求:AD+DQ=6+3=9,
所以t=9÷1=9(秒);
(2)如图3,
当0<t≤3时,
由菱形ABCD的边长为6,∠DAB=60°,
可求:∠PAG=30°,
∵∠APQ=60°,
∴∠AGP=90°,
由AP=t,可求:PG=t,AG=
t,
∴S=PG×AG=
t2;
当3<t≤6时,
如图4,
,
AE=3,AP=t,
∴PE=t-3,
过点C作AB的垂线,垂足为H,
由菱形ABCD的边长为6,∠DAB=60°,
可求:CH=3,BH=3,EH=6,
tan∠KEB=,
过点K作KM⊥AB,作CN∥PK交AB的延长线于N,
∵△EKP∽△ECN,可得
=
,
可求KM=,
∴S△PEK=,
可求∠QAG=30°,
又∠AQG=60°,AQ=t,
可求∠AGQ=90°,
DG=t,GQ=
t,
∴S△AGQ=t2,
等边三角形APD的面积为:,
∴S=-
t2-
=
+
t
,
当6<t≤9时,
如图5,
,
与前同理可求:S△FQP=9,
S△GQN=,
S△KEP=,
∴S=9-
-
=
t2+4
t
,
当9<t≤12时,
如图6,
求出:S△PQF=9,
S△QGH=,
S△NEP=,
S△KEF=,
∴S=S△PQF-S△QGH-S△NEP+S△KEF=9-
-
+
=
t25
t+30
;
(3)逆时针旋转:
①α=150°,如图7,
此时,易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°,
可证△ACD∽△APM,
∴=
,
易求AP=12,AC=6,AD=6,
解得:AM=4,
所以,CM=2;
②α=105°,如图8,
此时,易求CM=CN,∠CMN=∠CNM=∠APM=75°,
∴AM=AP=12,
在菱形ABCD中,AD=CD=6,∠D=120°,
可求AC=6,
所以,CM=12=6;
③α=60°,如图9,
此时,易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°,
∴BC∥PM,
由AB=BP=6可得,CM=AC=6,
所以:CM=6;
④α=15°,如图10,
此时,易求∠APM=∠M=15°,
∴AM=AP=12,
所以:CM=AM+AC,
CM=12+6.
