题目内容

【题目】已知:如图1,菱形ABCD的边长为6,DAB=60°,点EAB的中点,连接AC、EC.点Q从点A出发,沿折线A—D—C运动,同时点P从点A出发,沿射线AB运动,P、Q的速度均为每秒1个单位长度;以PQ为边在PQ的左侧作等边PQF,PQFAEC重叠部分的面积为S,当点Q运动到点CP、Q同时停止运动,设运动的时间为t

(1)当等边PQF的边PQ恰好经过点D时,求运动时间t的值;当等边PQF的边QF恰好经过点E时,求运动时间t的值;

(2)在整个运动过程中,请求出St之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;

(3)如图2,当点Q到达C点时,将等边PQF绕点P旋转α ° (0<α<360°),直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N.是否存在这样的α ,使CMN为等腰三角形?若存在,请直接写出此时线段CM的长度;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1)根据题意求出运动的距离,再除以速度即可求出时间;

(2)分当0<t≤3时,当3<t≤6时,当6<t≤9时,当9<t≤12时,四种情况,分别求出重叠部分面积即可;

(3)分交点都在BC左侧,顶角为120°,交点都在BC右侧时,顶角可能为30°120°;交点在BC两侧时,顶角为150°进行讨论求解即可.

解:(1)当等边PQF的边PQ恰好经过点D时,

如图1,

AQ=AD=6,

t=6÷1=6(秒);

当等边PQF的边QF恰好经过点E时,

如图2,

由菱形ABCD的边长为6,DAB=60°,P、Q的速度均为每秒1个单位长度,

知:∠APQ=60°,QEB=60°,

QEAD,

∵点EAB的中点,

∴此时点QCD的中点,

可求:AD+DQ=6+3=9,

所以t=9÷1=9(秒);

(2)如图3,

0<t≤3时,

由菱形ABCD的边长为6,DAB=60°,

可求:∠PAG=30°,

∵∠APQ=60°,

∴∠AGP=90°,

AP=t,可求:PG=t,AG=t,

S=PG×AG=t2

3<t≤6时,

如图4,

,

AE=3,AP=t,

PE=t-3,

过点CAB的垂线,垂足为H,

由菱形ABCD的边长为6,DAB=60°,

可求:CH=3,BH=3,EH=6,

tanKEB=

过点KKMAB,作CNPKAB的延长线于N,

∵△EKP∽△ECN,可得

=

可求KM=

SPEK=

可求∠QAG=30°,

又∠AQG=60°,AQ=t,

可求∠AGQ=90°,

DG=t,GQ=t,

SAGQ=t2

等边三角形APD的面积为:

S=-t2-=+t

6<t≤9

如图5,

与前同理可求:SFQP=9

SGQN=

SKEP=

S=9--=t2+4t

9<t≤12时,

如图6,

求出:SPQF=9

SQGH=

SNEP=

SKEF=

S=SPQF-SQGH-SNEP+SKEF=9-- +=t25t+30

(3)逆时针旋转:

α=150°,如图7,

此时,易求∠CNM=NCM=APM=MAP=DAP=30°,

可证△ACD∽△APM,

易求AP=12,AC=6,AD=6,

解得:AM=4

所以,CM=2

α=105°,如图8,

此时,易求CM=CN,CMN=CNM=APM=75°,

AM=AP=12,

在菱形ABCD中,AD=CD=6,D=120°,

可求AC=6

所以,CM=12=6

α=60°,如图9,

此时,易求∠CMN=MCN=ACB=30°,

BCPM,

AB=BP=6可得,CM=AC=6,

所以:CM=6

α=15°,如图10,

此时,易求∠APM=M=15°,

AM=AP=12,

所以:CM=AM+AC,

CM=12+6

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