题目内容
如图,在等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC,垂足为点D.点P,Q分别从B,C两点同时出发,其中点P从点B开始沿BC边向点C运动,速度为1cm/s,点Q从点C开始沿CA边向点A运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s).(1)当x为何值时,将△PCQ沿直线PQ翻折180°,使C点落到C'点,得到的四边形CQC'P是菱形?
(2)设△PQD的面积为y(cm2),当0<x<6.5时,求y与x的函数关系式.
(3)当0<x<5时,是否存在x,使得△PDM与△MDQ(M为PQ与AD的交点)的面积比为3:5,若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先表示PC、CQ,只有当PC=CQ时,四边形CQC'P是菱形,列方程求x即可;
(2)过点Q作QE⊥BC,根据①0<x<5,②5<x<6.5,分类列出函数关系式;
(3)存在.过点Q作QF⊥AD,垂足为F,根据等高的两个三角形的面积比得S△PDM:S△DQM=PM:QM,由FQ∥PD,得PM:QM=PD:QF,把相关线段用x表示,列方程求x即可.
(2)过点Q作QE⊥BC,根据①0<x<5,②5<x<6.5,分类列出函数关系式;
(3)存在.过点Q作QF⊥AD,垂足为F,根据等高的两个三角形的面积比得S△PDM:S△DQM=PM:QM,由FQ∥PD,得PM:QM=PD:QF,把相关线段用x表示,列方程求x即可.
解答:解:(1)PC=10-x,CQ=2x要使四边形CQC'P是菱形,
则PC=CQ即10-x=2x.解得x=
.∴当x=
时,
四边形CQC'P是菱形;
(2)过点Q作QE⊥BC,垂足为E,
∵AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC,
∴由勾股定理可得AD=12cm.
①当0<x<5时,∵QE∥AD∴△QEC∽△ADC,
∴
=
即
=
.解得QE=
x,又PD=5-x,
∴y=
PD•QE.即y=-
x2+
x,
②当5<x<6.5时,y=
PD•QE.y=
x2-
x;
(3)当0<x<5时,PQ与AD交于M,存在符合条件的x.
理由如下:过点Q作QF⊥AD,垂足为F,
∵FQ∥PD,
∴S△PDM:S△DQM=PM:QM=PD:QF=3:5,
在Rt△QEC中,EC=CQ•cos∠ACD=
x,QF=DE=DC-EC=5-
x,PD=5-x,
∴
=
,
解得x=
,
∴当x=
时,△PDM与△MDQ的面积比为3:5
则PC=CQ即10-x=2x.解得x=
10 |
3 |
10 |
3 |
四边形CQC'P是菱形;
(2)过点Q作QE⊥BC,垂足为E,
∵AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC,
∴由勾股定理可得AD=12cm.
①当0<x<5时,∵QE∥AD∴△QEC∽△ADC,
∴
QE |
AD |
CQ |
CA |
QE |
12 |
2x |
13 |
24 |
13 |
∴y=
1 |
2 |
12 |
13 |
60 |
13 |
②当5<x<6.5时,y=
1 |
2 |
12 |
13 |
60 |
13 |
(3)当0<x<5时,PQ与AD交于M,存在符合条件的x.
理由如下:过点Q作QF⊥AD,垂足为F,
∵FQ∥PD,
∴S△PDM:S△DQM=PM:QM=PD:QF=3:5,
在Rt△QEC中,EC=CQ•cos∠ACD=
10 |
13 |
10 |
13 |
∴
5-x | ||
5-
|
3 |
5 |
解得x=
26 |
7 |
∴当x=
26 |
7 |
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,菱形的性质,翻折问题,勾股定理的运用.关键是根据图形特点作辅助线,构造三角形相似.
练习册系列答案
相关题目
如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BE⊥AC,垂足为E,则∠1与∠A的关系式为( )
A、∠1=∠A | ||
B、∠1=
| ||
C、∠1=2∠A | ||
D、无法确定 |