Question

【题目】已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．
（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：存在．

∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．

∴OA=BC=5，BC∥OA，

以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，如图1，

作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，

∴EG= =1.5，

∴E（1，2），F（4，2），

∴当 ，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；

（2）

解：如图2，

∵BC=OA=5，BC∥OA，

∴四边形OABC是平行四边形，

∴OC∥AB，

∴∠AOC+∠OAB=180°，

∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，

∴∠AOQ= ∠AOC，∠OAQ= ∠OAB，

∴∠AOQ+∠OAQ=90°，

∴∠AQO=90°，

以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，

∴点Q只能是点E或点F，

当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，

∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB，

∴CF=OC，BF=AB，

而OC=AB，

∴CF=BF，即F是BC的中点．

而F点为（4，2），

∴此时m的值为6.5，

当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，

综上所述，m的值为3.5或6.5．

【解析】（1）由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，接着利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时，当 ，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点．而F点为 （4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.5．