Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝2经过抛物线上两点D，E．已知点D，E的横坐标分别为x1，x2且满足x1+x2＝3，直线BC的表达式为y＝﹣x+n．

（1）求n的值及抛物线的表达式；

（2）设点Q是直线DE上一动点，问：点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出点Q的坐标及△QOB周长的最小值；

（3）如图2，M是线段OB上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线BC和抛物线分别交于点P，N．若点F是直线BC上一个动点，当点P恰好是线段MN的中点时，在坐标平面内是否存在点G，使以点G，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4;（2）4+4;（3）存在,G坐标为（）或（）或（﹣）．

【解析】

（1）由抛物线过点C可求C的坐标，由直线也过点C即求出n的值；得到n的值即有直线BC的关系式，即能求BC与x轴交点B的坐标，又由DE∥x轴且其横坐标满足x1+x2＝3，即得到抛物线对称轴﹣，再把点B坐标代入抛物线关系式得方程组，解得a、b的值即可；

（2）由于点Q在直线y＝2上运动，要求的是OQ+BQ的最小值，O、B是定点，故寻找O或B关于直线y＝2的对称点．由C（0，4）得C与O关于直线y＝2对称，则有CQ＝OQ，当点C、Q、B在同一直线上时有最小值．求直线BC上y＝2时的横坐标，即为Q的坐标．计算BC与OB的和即为△QOB周长最小值；

（3）先根据题意设点M、P、N坐标，利用P为MN中点的等量关系求出点P、M坐标．再对菱形四个顶点位置作讨论：①以PM为菱形的边，此时又分两种情况，分别是点F在点P左右侧的讨论．当F在P左侧时，根据菱形性质和GM与x轴夹角为45°易求G的坐标；当F在P右侧时，根据对称性即求出G的坐标．②以PM为菱形对角线，利用对角线互相垂直平分的性质即求出点G坐标．

（1）当x＝0时，抛物线y＝ax2+bx+4＝4，

∴C（0，4），

∵点C在直线BC：y＝﹣x+n上，

∴n＝4，

∵直线BC与x轴交点为B，﹣x+4＝0，解得：x＝4，

∴B（4，0），

∵点B在抛物线上，

∴16a2+4b+4＝0 ①

∵yD＝yE＝2，

∴DE∥x轴，点D、E关于抛物线对称轴对称，

∵x1+x2＝3，

∴抛物线对称轴为：直线x＝＝，

∴②

联立方程①②解得：，

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4；

（2）连接CQ，如图1，

∵C（0，4），点Q是直线y＝2上一动点，

∴O、C关于直线y＝2对称，

∴CQ＝OQ，

∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短，

当﹣x+4＝2时，解得：x＝2，

∴此时，Q（2，2），

∵OB＝OC＝4，

∴BC＝，

∴△QOB周长最小值为：C△QOB＝OQ+BQ+OB＝BC+OB＝4+4；

（3）存在满足条件的点G，

设M（m，0）（0＜m＜4），则P（m，﹣m+4），N（m，﹣m2+3m+4），

∵点P是MN中点，

∴MN＝2PM，

∴﹣m2+3m+4＝2（﹣m+4），

解得：m1＝1，m2＝4（舍去），

∴M（1，0），P（1，3），PM＝3，

①若PM为菱形的边，菱形GFPM中，点F在点P左侧，如图2，延长FG交x轴于点H，

∵FP＝PM＝FG＝GM＝3，FG∥PM，FG∥GM，

∴∠GHM＝90°，∠GMH＝∠CBO＝45°，

∴MH＝GH＝GM＝，

∴xG＝xM﹣＝，yG＝GH＝，

∴G（，）；

②若PM为菱形的边，菱形GFPM中，点F在点P右侧，如图3，

根据与图2的对称关系可得G（，﹣）

③若PM为菱形的对角线，菱形GPFM中，如图4，

设PM与GF交于点I，

∴PI＝MI＝PM＝，GI＝IF，PM⊥GF，

∴GF∥x轴，yF＝yI＝yG＝，

∴∠PFI＝∠CBO＝45°，

∴GI＝IF＝PI＝，

∴xG＝xI﹣＝﹣，

∴G（﹣，），

综上所述，满足条件的点G坐标为（）或（）或（﹣）．