Question

（1）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+…+n=

 

；


（2）运用第（1）题的结论，试求1+2+3+…+99的值；
（3）在一次数学活动中，为了求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

的值，小明设计了如图3所示的边长为1的正方形图形．请你利用这个几何图形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

的值为

 

；
（4）运用第（3）题的结论，试求

5

6

+

11

12

+

23

24

+

47

48

+

95

96

+

191

192

的值．

Answer 1

分析：（1）看图2可得圆圈共有n层，每层有（n+1）个，求得n层圆圈的个数，除以2即可；
（2）利用（1）得到的公式计算即可；
（3）让最大的正方形的面积减去最小的长方形的面积即可；
（4）先整理为分子为1的形式，进而整理为分母为底数为2的幂的形式，利用（3）的结论作答即可．

解答：解：（1）平行四边形中圆圈的个数为n（n+1），
∴图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
故答案为

n(n+1)

2

；
（2）1+2+3+…+99=

99×100

2

=4950；
（3）

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

=1-

1

2n

，
故答案为1-

1

2n

；
（4）

5

6

+

11

12

+

23

24

+

47

48

+

95

96

+

191

192

=1-

1

6

+1-

1

12

+1-

1

24

+1-

1

48

+1-

1

96

+1-

1

192

=6-

1

3

（

1

2

+

1

22

+…+

1

26

）=6-

1

3

×（1-

1

26

）=

363

64

．

点评：考查有关规律性的计算；根据所给图形得到计算的规律是解决本题的关键．