Question

（2011•东台市二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

思考验证：
（1）求证：DE=DF；
（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
归纳结论：
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°-α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）
探究应用：
（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据已知推出∠C=∠DBF，根据SAS证△DEC≌△DFB即可；
（2）连接AD，根据SSS证△ACD≌△ABD，推出∠CDA=∠BDA=60°，推出∠GDF=60°，得出△DGF≌△DEG，推出FG=EG即可；
（3）根据（1）（2）即可猜出结论；
（4）过C作CM⊥AD交AD的延长线于M，根据全等三角形的性质得出AM=AB，BC=CM，根据结论得出BE+DM=DE，根据勾股定理求出DE，代入即可．

解答：（1）证明：∵∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠A=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=180°，
∵∠ABD+∠DBF=180°，
∴∠C=∠DBF，
在△DEC和△DFB中，

CE=BF ∠C=∠DBF CD=BD

∴△DEC≌△DFB，
∴DE=DF．
（2）解：CE+BG=EG，
证明：连接DA，
在△ACD和△ABD中

AC=AB AD=AD CD=DB

，
∴△ACD≌△ABD，
∴∠CDA=∠BDA=60°，
∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB，
∵∠BDF=∠CDE，
∴∠GDB+∠BDF=60°，
在△DGF和△DEG中

DE=DF ∠EDG=∠GDF DG=DG

，
∴△DGF≌△DEG，
∴FG=EG，
∵CE=BF，
∴CE+BG=EG．

（3）解：∠EDG=

1

2

（180°-α），

（4）解：过C作CM⊥AD交AD的延长线于M，
在△AMC和△ABC中

∠AMC=∠ABC ∠DAC=∠BAC AC=AC

，
∴△AMC≌△ABC，
∴AM=AB．CM=BC，
由（1）（2）（3）可知：DM+BE=DE，
∵AE=3，∠AED=90°，∠DAB=60°，
∴AD=6，
由勾股定理得：DE=3

3

，
∴DM=AM-AD=AB-6=BE+3-6=BE-3，
∴BE-3+BE=3

3

，
即BE=

1

2

（3

3

+3）．

点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．