题目内容
(2011•东台市二模)王老师从拉面的制作受到启发,设计了一个数学问题:如图,在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB,对折后(点A与B重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段,这一过程称为一次操作(如在第一次操作后,原先段AB上的
,
均变成
,
变成1,等),那么在线段AB上(除A、B)的点中,问第n次操作,恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是
1 |
4 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2n-2
2n-2
.分析:根据题意,可知下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍.因为第一次操作后,原线段AB上的
,
均变成
,则第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数是
和
,则它们的和可求.根据题意,将恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标列出数据,找出规律,列出通式即可.
1 |
4 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
3 |
4 |
解答:解:第一次操作后,原线段AB上的
变为1,
第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数有21=2个,分别是
和
,其和为1,
第三次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数有22=4个,分别是
、
、
和
,其和为2,
…,
可以推出第n次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为
、
…
,共有2n-1个点,其和为
=
=2n-2.
故答案为:2n-2.
1 |
2 |
第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数有21=2个,分别是
1 |
4 |
3 |
4 |
第三次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数有22=4个,分别是
1 |
8 |
3 |
8 |
5 |
8 |
7 |
8 |
…,
可以推出第n次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为
1 |
2n |
3 |
2n |
2n-1 |
2n |
1+3+5+…+(2n-1) |
2n |
| ||
2n |
故答案为:2n-2.
点评:此题的难点是理解题意,能够发现对应点之间的变化规律:下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍.解答本题的难点是根据数据列出通式,方便比较数据之间的联系.
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