题目内容
(2011•东台市二模)已知二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)
(1)求证:它的图象与x轴必有两个交点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A、B(A在B左),与y轴交于点C,顶点为D,sin∠ABD=
,⊙M过A、B、C三点,求⊙M的面积;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使PA是⊙M的切线?若存在,求出P点的坐标,若不存在,说明理由.
(1)求证:它的图象与x轴必有两个交点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A、B(A在B左),与y轴交于点C,顶点为D,sin∠ABD=
2 |
5 |
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(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使PA是⊙M的切线?若存在,求出P点的坐标,若不存在,说明理由.
分析:(1)利用根的判别式直接证明就可以了.
(2)当y=0时,可以表示出点A、B的坐标,表示出AB的长度,再根据sin∠ABD=
,DH=2BH,从而得到AB=DH,再根据抛物线的解析式求出m的值,设出M(1,a)利用圆的性质可以求出半径,最后求出面积.
(3)由圆的切线的性质得出△NAH∽△AMH,可以求出NH的值,进而求出N的坐标,可以求出AN的解析式,可以求出与抛物线的交点坐标P.
(2)当y=0时,可以表示出点A、B的坐标,表示出AB的长度,再根据sin∠ABD=
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(3)由圆的切线的性质得出△NAH∽△AMH,可以求出NH的值,进而求出N的坐标,可以求出AN的解析式,可以求出与抛物线的交点坐标P.
解答:解:(1)由题意,得
△=(m-3)2+12m
∵(m-3)2≥0,m>0,
∴(m-3)2+12m>0,
∴抛物线x轴必有两个交点;
(2)当y=0时,
∴mx2+(m-3)x-3=0,解得
x1=-1,x2=
,
∵A在B左,
∴A(-1,0),B(
,0),
∴AB=
.
过点D作DH⊥AB于点H,由抛物线的对称性得到AH=BH=
AB,
由垂径定理的性质得,点M在DH上.
∵sin∠ABD=
,设DH=2
m,BD=5m,由勾股定理,得
BH=
m,
∴BH=
DH,
∴AB=DH,
∵OA=1,
∴OH=
-1=
,
∴D(
,m• (
)2+(m-3) •
-3)
∴DH=-(m•(
)2+(m-3) •
-3),
=-
-
+3,
∴-
-
+3=
,解得:
m1=1,m2=-3(m>0)
∴m=1,
∴抛物线的解析式为:y=x2-2x-3,HO=1,AH=2,设M(1,a),
∴MH=-a,MA=MC,CE=a-3,
∴(-a)2+4=1+(a+3)2
解得:a=-1
∴AM=
,HM=1,
∴S⊙M=5π.
(3)∵AP是⊙M的切线,
∴PA⊥MA,
∴△NAH∽△AMH,
∴
=
=
,
∴NH=4,
∴N(1,4),设直线AH的解析式为:y=kx+b,由题意,得
,解得:
∴直线AH的解析式为:y=2x+2,
∴
,解得:
,
(不符合题意,应舍去)
∴P(5,12)
△=(m-3)2+12m
∵(m-3)2≥0,m>0,
∴(m-3)2+12m>0,
∴抛物线x轴必有两个交点;
(2)当y=0时,
∴mx2+(m-3)x-3=0,解得
x1=-1,x2=
3 |
m |
∵A在B左,
∴A(-1,0),B(
3 |
m |
∴AB=
m+3 |
m |
过点D作DH⊥AB于点H,由抛物线的对称性得到AH=BH=
1 |
2 |
由垂径定理的性质得,点M在DH上.
∵sin∠ABD=
2 |
5 |
5 |
5 |
BH=
5 |
∴BH=
1 |
2 |
∴AB=DH,
∵OA=1,
∴OH=
m+3 |
2m |
3-m |
2m |
∴D(
3-m |
2m |
3-m |
2m |
3-m |
2m |
∴DH=-(m•(
3-m |
2m |
3-m |
2m |
=-
(3-m)2 |
4M |
(3-m)2 |
2m |
∴-
(3-m)2 |
4M |
(3-m)2 |
2m |
m+3 |
m |
m1=1,m2=-3(m>0)
∴m=1,
∴抛物线的解析式为:y=x2-2x-3,HO=1,AH=2,设M(1,a),
∴MH=-a,MA=MC,CE=a-3,
∴(-a)2+4=1+(a+3)2
解得:a=-1
∴AM=
5 |
∴S⊙M=5π.
(3)∵AP是⊙M的切线,
∴PA⊥MA,
∴△NAH∽△AMH,
∴
AH |
NH |
MH |
AH |
1 |
2 |
∴NH=4,
∴N(1,4),设直线AH的解析式为:y=kx+b,由题意,得
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∴直线AH的解析式为:y=2x+2,
∴
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∴P(5,12)
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了抛物线的于x轴的交点,抛物线的图象性质,圆的切线的判定及性质,勾股定理的运用.
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